Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
-sirv’i’=?4’' <218>
Решения (2.18) суть плоские волны
i
г|, = Ne*P\ (2. If)
где N — нормировочный множитель. Вектор р в данном случае есть обычный импульс, связанный с энергией Е равенством
Е = <2-20)
Из формулы (2.17) непосредственно вытекает соотношение де Бройля, связывающее импульс с волновым вектором:
р = Йк.
Формула (2.15') несколько напоминает (2.19), причем квазиимпульс играет роль, в известной мере аналогичную импульсу. Формально (2.19) есть частный случай (2.157) при ир — const == N.
И действительно, выражение (2.19) можно получить с помощью
тех же рассуждений, что и (2.15'), требуя лишь, чтобы вероятность обнаружить электрон не изменялась при переходе из любой точки
*) Задолго по применения квантовой механики к задачам теории твердого тела одномерный аналог уравнения (2.4) был исследован в теории колебаний. Равенство (2.15) (в одномерном случае) было установлено Хиллом; в связи с этим функции такого вида называют также функциями Хилла.
94 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. Ш
пространства в любую другую. Это условие означает, что вектор а„ становится произвольным. Тогда в силу (2.11) должно иметь место равенство. | г|э |2 = const — в соответствии с (2.19). Физически эквивалентность всех без исключения точек пространства означает отсутствие потенциальных сил, действующих на электрон. Действительно, при наличии таких сил потенциальная энергия электрона была бы различной в разных точках, т. е. по крайней мере некоторые из них были бы не эквивалентны другим.
Так обстоит дело, в частности, в периодическом поле, когда функция Uk (г) отнюдь не сводится к константе и, следовательно,
| tp \% ф const. При этом аналогия между импульсом и квазиимпульсом (или, соответственно, волновым и квазиволновым векторами) оказывается не полной. Так, например, легко проверить, что выражение (2.19) есть собственная функция оператора импульса (2.3'), принадлежащая собственному значению р:
— ifi^eh рг = рел РГ.
С другой стороны, выражение (2.15') этим свойством не обладает и фигурирующие там компоненты квазиимпульса р не являются собственными значениями операторов (2.3). Иначе говоря, значения компонент импульса в состоянии, описываемом волновой функцией (2.15'), точно не заданы.
Легко понять причины сходства и различия между импульсом и квазиимпульсом. Первый характеризует движение свободного электрона, когда система обладает инвариантностью относительно сдвига на любой вектор (все точки пространства эквивалентны). Второй характеризует движение в периодическом силовом поле, когда система обладает инвариантностью относительно сдвига на векторы решетки а„ (эквивалентны только точки, отстоящие друг от друга на векторы а„). Наличие инвариантности относительно сдвига в обоих случаях приводит к возможности охарактеризовать состояние электрона некоторым постоянным вектором — импульсом или квазиимпульсом. Различие в допустимых сдвигах приводит к тому, что импульс и квазиимпуЛьс представляет собой существенно разные физические величины,
§ 3. Зоны Бриллюэна
Введенный в предыдущем параграфе вектор квазиимпульса определяется равенствами (2.14) и (2.17). Комбинируя их, мы получаем
Ф(г + а„) =ел ра,гг|) (г). (3.1)
Таким образом, вектор р (или к = р/Н) характеризует закон преобразования волновой функции электрона при сдвиге ее аргу-
ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА
95
мента на какой-либо вектор решетки. Разным собственным функциям соответствуют, вообще говоря, различные значения квазиимпульса (квазиволнового вектора). Поэтому компоненты его (как и компоненты импульса в случае свободного электрона) следует рассматривать как квантовые числа, характеризующие данное стационарное состояние. Однако, в отличие от компонент импульса и от квантовых чисел, встречающихся в теории атома, квазиимпульс определяется в принципе неоднозначно. Действительно, обозначим через с вектор, скалярное произведение которого на ая есть целое кратное 2лft:
аяс = 2лйх (целое число). (3.2)
Очевидно, векторы р и р + с, будучи подставлены в правую часть
(3.1), дают один и тот же результат. Но равенство (3.1) есть единственное условие, определяющее квазиимпульс. Следовательно, векторы р и р + с физически эквивалентны: оба они определяют одно и то же преобразование волновой функции.
Нетрудно найти явный вид вектора с. Для этого следует лишь ввести понятие обратной решетки. Основные векторы последней Ьц Ь2, Ь3 определяются равенствами
Ъ1 = 2п[-Щ^, Ь2 = 2ль3 = 2лЙ^1, (3.3)
"о ' 0 У о
где V0 = | (ах [а2Ха3]) | есть объем параллелепипеда, построенного на векторах аг, а2, а3 (объем элементарной ячейки). В частности, в простой кубической решетке, когда а1 = а2 = а3 — анЬ1 = Ь2 = Ь3 = Ь, мы имеем