Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Волновая функция электрона в периодическом поле
Как мы видели в предыдущем параграфе, в рамках зонного приближения квантовомеханическая задача о системе электронов в твердом теле сводится к задаче об одном электроне, движущемся в заданном внешнем поле. Обозначим потенциальную энергию электрона в нем через И (г), где г (х, у, z) — радиус-вектор данной точки пространства. Явный вид функции U (г) нам пока неизвестен. В дальнейшем (гл. XVII) выяснится, что даже приближенное вычисление U (г) связано с большими математическими трудностями. Однако многие важные особенности рассматриваемой системы можно выяснить, не задавая явного вида U (г), а пользуясь лишь некоторыми общими свойствами этой функции. Именно этим, по существу, и объясняется успех зонного приближения при интерпретации экспериментальных данных.
Для выяснения свойств функции U (г) заметим, прежде всего, что наша система зарядов в целом нейтральна: полный заряд валентных электронов равен по величине и противоположен по знаку заряду всех атомных остовов. Далее, следует ожидать, что не только остовы, но и электроны будут расположены в пространстве в среднем периодически. (В дальнейшем это будет показано явно.) Следовательно, и поле, создаваемое данной системой зарядов, должно быть периодично в пространстве:
U(r) = U(r + an), (2.1)
т. е. потенциальная энергия электрона в кристалле инвариантна
относительно сдвига навектор решетки а„. Итак, мы пришли к задаче
о движении электрона в периодическом поле.
В этой главе будут рассматриваться только стационарные состояния электронов. Соответственно уравнение Шредингера имеет вид
= (2.2)
90 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. Ш
Здесь Н — оператор энергии (гамильтониан) рассматриваемой системы, Е — его собственные значения, а ф есть волновая функция — собственная функция оператора Я, принадлежащая собственному значению Е. В рассматриваемой нами задаче оператор Н представляет собой сумму операторов потенциальной энергии электрона U и кинетической энергии р2/2т0. Здесь т0 есть масса свободного электрона, ар — оператор импульса:
Через Н, как обычно, обозначена постоянная Планка h, деленная на 2л.
В соответствии со сказанным уравнение (2.2) применительно к задаче об электроне в периодическом поле принимает вид
причем функция U (г) обладает свойством (2.1).
Коль скоро потенциальная энергия U (г) не зависит от спина электрона, каждым собственному значению энергии Е и координатной волновой функции ijj отвечают два состояния, соответствующие двум возможным ориентациям спина. Об этом говорят как о спиновом вырождении.
При наложении магнитного поля 53 спиновое вырождение снимается, ибо энергия электрона становится зависящей от проекции магнитного момента на направление 53. В отсутствие магнитного поля спиновое вырождение играет роль только при подсчете общего числа дозволенных квантовых состояний, приводя к появлению дополнительного множителя 2.
Наличие двух спиновых состояний можно отразить, рассматривая функцию if как матрицу:
Функции и % отвечают двум разным значениям 2-компоненты спина. В рассматриваемом нами случае ^ = if2 = ф. Представление (2.5}, однако, остается в силе и в более общем случае, когда принимается во внимание и спиновая зависимость энергии электрона. Эта зависимость возникает как во внешнем магнитном поле, так и в магнитном поле, обусловленном орбитальным движением самого электрона. Для учета последнего эффекта в гамильтониан электрона вводят оператор энергии спин-орбитального взаимодействия Hso. Явный вид его выводится в релятивистской квантовой механике [М2, М3]. Оказывается, что
(2.3)
т. е.
р = — ШУ.
(2.3')
ft 2
(2.4)
(2.5)
(2.6)
Здесь с — скорость света в вакууме, 0 — спиновый (матричный) вектор Паули.
ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
91
В условиях (2.1) правая часть (2:6) периодически зависит от пространственных координат. Соответственно под U в уравнении (2.4) можно формально
понимать и сумму потенциальной энергии и оператора (2.6). По этой причине
учет спин-орбитального взаимодействия не влияет на последующие качественные выводы этого параграфа.
Определив из уравнения (2.4) волновую функцию if, мы можем найти средние значения любых физических величин, характеризующих поведение электрона. В частности, выражение
I ip (г) [2 dr (2.7)
