Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
& = —. (3.3')
а ' '
Очевидно, векторы Ьь Ь2, Ь3 имеют размерность обратной длины. На основных векторах Ьь Ь2, Ь3 можно построить периодическую решетку. Она и называется обратной (по отношению к прямой решетке данного кристалла).
Произвольный вектор обратной решетки имеет вид
Ьт = mjЬх + т2Ь2 + ЩЪ3, (3.4)
где т1, т2, т3 — положительные или отрицательные целые числа или нули (при этом тъ т2 и т3 не равны нулю одновременно), т =
{т;, т2, т3}.
Элементарная ячейка обратной решетки представляет собой параллелепипед, построенный на векторах Ьх, Ь2, Ь3. «Объем» этого параллелепипеда равен I (Ьх Ib2 х Ь3]) | (разумеется, он имеет размерность обратного объема). Подставляя сюда формулы (3.3) для Ьь Ь2, Ь3 и раскрывая получающееся произведение, находим
I (bx [b2 xb3]) | = (2л)3/W (3.5)
96
ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. Ill
Как и в случае прямой решетки, выбор элементарной ячейки в обратной решетке неоднозначен и определяется соображениями удобства.
.Другой способ построения элементарной ячейки состоит в следующем. Какой-то узел обратной решетки выбирают в качестве начала координат и соединяют его прямыми линиями с ближайшими к нему узлами. Через середины этих линий перпендикулярно к ним проводят плоскости. В качестве элементарной ячейки обратной решетки можно выбрать наименьший многогранник, ограниченный так построенными плоскостями и содержащий внутри себя начало координат. Этот многогранник называется ячейкой Вигнера — Зейтца.
Такие многогранники можно построить около любого узла решетки; при этом они не перекрываются и совокупность их заполняет все обратное пространство. Отсюда следует, что объем одного многогранника действительно равен (2л)3/У0, как это и должно быть. В отличие от параллелепипеда, построенного на векторах blt Ьз, Ь3, элементарная ячейка, выбранная указанным только что образом, обладает всеми свойствами симметрии обратной решетки.
Из определения {3.3) вытекают равенства
= а2Ь2 = а3Ь3 = 2л, ааЬр = 0, (а, р = 1,2,3).
Умножим теперь произвольный вектор решетки (II. 1.1) на вектор обратной решетки (3.4). Пользуясь соотношениями (3;6), мы получаем
a„bm = (пгтх + л2т2 -f п3т3) 2п.
В скобках в правой части этого равенства стоит целое число, и, следовательно,' вектор с, удовлетворяющий условию (3.2), можно записать в виде
с = ЛЬт. (3.7)
Итак, квазиимпульс определен лишь с точностью до вектора
обратной решетки, умноженного на ft. Это обстоятельство позволяет ограничить изменение компонент квазиимпульса конечной областью, исчерпывающей все физически неэквивалентные их значения. Такая область — совокупность всех физически неэквивалентных значений квазиимпульса — называется зоной Бриллюэна. В силу
произвольности вектора Ьт в (3.7) выбор ее неоднозначен. Так,
можно выбрать в качестве зоны Бриллюэна область, определяемую неравенствами
— пН<с рах -рс nh,
— nh<cpa2^nfl, (3.8)
— nh < ра3 nh.
ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА
97
Эти неравенства определяют некоторый параллелепипед в р-пространстве, содержащий в себе начало координат. Его называют первой зоной Бриллюэна.
Можно определить первую зону Бриллюана и для компонент квазиволнового вектора к: надо лишь заменить р на к в неравенствах (3.8), опустив множители ft. Квазиимпульс (или квазиволно-вой вектор), изменяющийся в пределах первой зоны Бриллюэна, называется приведенным. В частности, в простой кубической решетке векторы aj, а2, а3 одинаковы по величине (равной постоянной решетки а) и направлены по трем взаимно перпендикулярным осям куба. Выбирая эти оси в качестве координатных, получаем из (3.8) для данного частного случая
Яft __ ixfi /п лл
<Pa=sS —, а = х, у, z. (3.8)
Первая зона Бриллюэна здесь представляет собой куб объема
(2 яй)3 (2я к)* „ . й
--¦у ’ = а5,' . В к-пространстве соответствующий объем равен
(2n)W0- Я
Полученное только что выражение для объема первой зоны Бриллюэна справедливо и для произвольной решетки. Действительно, интересующий нас объем дается интегралом
of — ^ dpx dp у dpz,
взятым по области, определяемой неравенствами (3.8), Для вычисления этого интеграла удобно ввести переменные
ф1 = \ (рах), ф2 = \ (ра2). Фз = y (Р»з) •
Якобиан перехода от переменных ф1( ф2, ф:) к переменным рх, ру, рг представляет собой детерминант [ 1]
дф! <Эфа дфз дрх дрх дрх
