Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Формула (5.12"), как, впрочем, и (5.12') и (5.17), ясно показывает, как влияет поле кристаллической решетки на энергетический спектр электронов.
Во-первых, атомный уровень Еа сдвигается на постоянную — не зависящую от А, — величину U (0). Смысл ее очевиден: согласно
(5.9) и (5.7)
t/(0) = S ФI (г) (U - Ug) <pg (г) dr. (5.13)
Таким образом, U (0) есть средняя энергия электрона, локализованного на каком-нибудь одном (g-м) атоме решетки, в поле всех
МЕТОД СИЛЬНО СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
109
остальных атомов (результат, разумеется, не зависит от g — сдвиг энергии для всех атомов один и тот же).
Во-вторых, дискретный атомный уровень «размывается» в зону: при изменении параметра А, от — я до + зт последнее слагаемое в правой части (5.12") непрерывно изменяется в интервале от -2 | U (1) —U (0) S (1) | до + 2 | U (1) — U (0) S (1) | (знак разности U (1) — U (0) S (1) в принципе может быть любым; для дальнейших выводов он несуществен). Все значения энергии в этом интервале дозволены: им соответствуют всюду ограниченные волновые функции (5.14), характеризуемые (как и энергия Е) различными значениями параметра X. Ширина этого интервала, т. е, «ширина разрешенной.зоны», равна
4\U (\) — U (0) S (1) |.
Согласно (5.9) и (5.7) она определяется степенью перекрытия волновых функций соседних атомов <р? и <р? > С уменьшением перекрытия (т. е. с увеличением расстояния между атомами d) ширина зоны быстро (экспоненциально) стремится к нулю — зона «стягивается» в дискретный уровень (возмущенный, может быть, присутствием других атомов согласно (5.18)). Зависимость Е от параметра % при этом исчезает.
Знак разности V (1) — U (0) S (1) определяет, лежит ли минимум энергии (5.12") (т. е. дно зоны) в точке К = 0 (к = 0) или в точке к = п, т. е. в центре или на границе зоны Бриллюэна *). Вблизи минимума функция (5.12") имеет вид
E = E0 + d2\U (l)-U (0)S(l)\k2, (5.19)
где Е0 есть минимальное значение энергии, а величина k отсчитывается от точки минимума. Выражение (5.19) формально совпадает с формулой для энергии свободной частицы h2k2/2m0, если массу последней т0 заменить выражением
й2
m = 2d2 j U (\) — U (0) S (1) | • (5-2С)
Величина т носит название эффективной массы. Заметим, что она убывает вместе с увеличением ширины разрешенной зоны.
Аналогично, вблизи максимума энергии (потолка зоны) мы имеем
Е = const+ ~, т'< 0, (5.21)
где число k отсчитывается от точки максимума. Константы здесь и в формуле (5.19), разумеется, различны; разность их равна ширине разрешенной зоны.
*) Точки Я = я и Я = —я физически эквивалентны, и, как указывалось в § 4, их следует рассматривать как одну точку.
ПО ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III
Правая часть (5.21) также похожа на формулу для кинетической энергии свободной частицы, но теперь эффективная масса т' отрицательна (в случае (5.12') она по абсолютной величине совпадает с m; вообще же величины т и | т' | могут быть и различными).
Как уже отмечалось, электрон, описываемый волновой функцией (5.13), с равной вероятностью может быть обнаружен около любого атома цепочки. Это обстоятельство на первый взгляд представляется парадоксальным. Действительно, график потенциальной энергии электрона в рассматриваемой цепочке представляет собой совокупность чередующихся потенциальных ям, связанных с каждым атомным остовом, и «горбов» (рис. 3.3). Казалось бы, можно «запереть» электрон внутри какой-либо одной ямы, если полная энер гия его Е меньше потенциальной энергии на «горбе» (пунктир-
барьера, окружающего яму (заштрихованные участки на рис. 3.3). Если, как это и имеет место в нашем случае, рядом с данной потенциальной ямой есть другие (где электрон может иметь ту же энергию), то возникает возможность изоэнергетического туннельного перехода электрона из одной ямы в другую. При этом он уже не связан с каким-либо отдельным атомом решетки, а обобществляется между ними. Именно этот туннельный эффект и позволяет электронам беспрепятственно перемещаться через кристалл без предварительной термической активаций.
Вероятность туннельного перехода определяется степенью перекрытия волновых функций электрона в соседних потенциальных ямах, т. е., в нашем случае, интегралами Sg'g и Ug'g. При безграничном раздвижении атомов вероятность туннельного эффекта обращается в нуль. И действительно, в неионизованном газе электроны локализованы у «своих» атомов.
В условиях, нами рассматриваемых (размеры атомов малы по; сравнению с расстоянием между ними), вероятность туннельного, перехода оказывается небольшой: электроны довольно сильно связаны со «своими» атомами *),
Рис. 3.3. Потенциальная энергия электрона в одномерной цепочке одинаковых атомов как функция координаты (схематически).
U
ная'линия на рис. 3.3). Это рассуждение, однако, целиком основано на классических представлениях, которые в данном случае недостаточны. В квантовой механике показывается, что «запереть» электрон в потенциальной яме конечной глубины и ширины невозможно: сущест-
