Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
AX = N J *'б1/(г')ехр[д(р-р', г')] 2. (5.7)
Заметим, что этот результат не зависит от расположения примесных атомов в решетке. Последнее влияет лишь на слагаемое А2, которое описывает эффект интерференции электронных волн, рассеянных различными атомами примеси. Действительно, произведем в интегралах, фигурирующих в (5.46), замену переменных
Тогда
N ЛГ
/=1 /' = i
rx - R, = Г), г2
ехр[^(р-р', R,-R/)]x
:Г2.
X J б(7(г1)ехр[у(р —р', г[)]*1х X j 81/(Гг) ехр [- -‘гф-р', Гг)]*^
2 ехр [4-(р — р', R/-R;')]- (5.46')
N
/. /' ЦФ1)
Вспомним теперь, что величины и, следовательно, Аг и А»
должны быть вещественными. Составляя полусумму правой части (5.46') и сопряженного ей выражения, находим
4» \
N Li
c°s(Р-ТГ- К;
R/
(5.8)
/. г
(/' Ф i)
Зависимость А2 от расположения примесных атомов весьма осложняет дальнейший расчет, ибо фактические координаты примес-
$ 5] РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА ПРИМЕСНЫМИ АТОМАМИ 477
ных атомов в решетке нам неизвестны. Однако при хаотическом распределении примеси в кристалле положительные и отрицательные слагаемые в правой части (5.8) будут встречаться одинаково часто. Тогда результат интерференции (5.8) обратится в нуль и атомы примеси будут рассеивать электроны и дырки независимо друг от друга *). В этих условиях, согласно (5.3) и (5.7),
^(р, р') =
(г') ехр (р - р', г')] f б (Е (р) - Е (р'))- (5-9)
Отношение N/V — Nt представляет собой концентрацию примеси в решетке. При V -> оо, N -> оо эта величина (а с ней и вероятность перехода) остается конечной и не зависит от размеров образца. Выражение (5.9) имеет вид (XIII.6.1), причем
S(Р, p') = Nt\ J 6t/(r')exp[4(p-p', r')]dr'|\ (5.10)
Если потенциальная энергия взаимодействия 8U (г') изотропна,
то функция 5 зависит только от энергии Е (р) и от угла 0 ='р, р' — в соответствии с (XIII.6.5).
Пользуясь соотношением (5.5), можем переписать формулу (5.10) в виде
5(р, р') = (^2)2Л^а(р, р'); (5.11)
При этом для времени релаксации мы получим, согласно (XIII.6.13),
Г----- ™
_ ZnNtV^E (р) ^ (1 _ cos 6) а (Е (р), cos 0) sin 0 • dQ. (5.12)
о
Введение эффективного сечения рассеяния на одном центре имеет не только формальный смысл. Именно, формулы (5.5) и (5.10) получены в первом неисчезающем (борновском) приближении теории возмущений. Это приближение применимо ([М2], § 95), если выполняется хотя бы одно из двух неравенств:
\М\<Ш- (S-13)
Здесь d—радиус действия поля 8U (г). В задаче о рассеянии электрона атомами заряженной примеси роль d играет радиус экранирования г0 (см. Приложение XII), а характерное значение |6?/| ~ е2/ег0. Таким образом, неравенства (5.13) принимают вид
________________ aB>r0, VE~b<VE. (5.14)
*) Более точное обоснование возможности пренебречь интерференционным членом (5.8) можно получить, вводя представление об усреднении всех наблюдаемых величин по координатам примесных атомов (см. [1], статьи №№ 5, 6 и Приложение XIII).
478
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОИ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
Здесь afl = — “ соответственно боровский радиус
и боровская энергия в кристаллической решетке, статическая диэлектрическая проницаемость которой есть е. Как мы видели в гл. IV, в Ge ав ~ 40 А, а ?в~0,01 эВ. Отсюда видно, что первое из неравенств (5.14) может выполняться лишь при очень большой концентрации экранирующих зарядов, достигаемой в предельно сильно легированных полупроводниках (гл. XIX), а второе накладывает ограничение на температуру образца. Действительно, в отсутствие фермиевского вырождения энергия «существенных» электронов или дырок —¦ порядка kT и мы получаем
EB^kT. (5.14')
В области низких температур, представляющей, как мы увидим, серьезный интерес именно в случае рассеяния на примеси, это условие может и не выполняться. При этом, благодаря малости концентрации примесных атомов, неравенство (2.22а), может все же оставаться в силе и применение кинетического уравнения, как такового, может быть оправдано. Надо лишь отказаться от бо’рновского приближения в задаче о рассеянии одним отдельным атомом примеси. Соотношениями (5.5) и (5.10) в этом случае пользоваться уже нельзя, однако равенство (5.11), как можно показать' ([1], статья № 9), сохраняет силу, если -только под а (р, р') понимать точное сечение упругого рассеяния. Соответственно остается в силе и формула (5.12).
Все изложенное (кроме явных формул (5.14), (5.14')) относится к рассеянию носителей заряда не только атомами примеси, но и любыми другими «точечными» дефектами решетки — вакансиями, собственными атомами, смещенными в междоузлия, и т. д.
