Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
2я Я
</2 (0. ф)> = i J J sin 0 • /2 (0, ф) т. (4.16)
о о
Подставляя сюда выражение (3.30) и выполняя интегрирование, мы получаем
<т ф»=4/15.
Пользуясь этим выражением и сравнивая равенства (4.15) и (XIII.6.1), (XIII.6.5), можем вычислить функцию S (Е, cos 0), фигурирующую в формуле для времени релаксации (XIII.6.12). Ограничимся сначала параболическим законом дисперсии, совмещая по-прежнему начало отсчета энергии электронов с дном зоны проводимости (Ес — 0). Получим
S(E, cos 0) = ВЕ~Г~1/* (1 — cos By’. (4.17)
Здесь, как и в гл. XIII, 0 = рГр', есть угол рассеяния; значения постоянных Б, г и г' для разных механизмов рассеяния указаны в таблице 14.2.
472
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
Таблица 14.2
Значения постоянных В, г, г' и С для разных механизмов рассеяния
в Г г' IB /2т1
(2л)2 П3
Акустические фононы 2л Vcfi ТЕ- -1/2 0 V0kTE\ Уъ&
(потенциал деформа Мс1П пМсуР
ции)
Акустические фононы 32л*раеаЙУо*Г + 1/2 -1 16лр2e2VJiT \/2т
(пьезоэлектрическое 15Мс"б2т 15e2Mc|ft2
рассеяние)
Неполярные оптиче 2яКоkTE% -1/2 0 V0kTE*VШ
ские фононы*), М Ни>1
kT > Йшо
Поляризационные фо 8яЩкТ (Ze2)2 X +1/2 ---1 AnkT (Ze2)2 X
ноны, kT >> й<й0 w (Мг + Мъ) w Wi+MjVbit
*) Принято сокращенное обозначение: | Р =
Выражение (4.17) можно обобщить и на случай непараболического (но изотропного) закона дисперсии. Для этой цели надо лишь произвести замену
тЕ-+\рг{Е). (4.18)
Эффективная масса т при этом выпадает из формул для С (табл. 14.2).
Теперь легко вычислить время релаксации, связанное с рассеянием на фононах какого-либо из рассматриваемых типов. Подставляя выражение (4.17) в правую часть (XIII.6.13) и интегрируя по углу е, мы получаем формулу (XIII.7.21):
т (Е) = СЕГ, (4.19)
с известными уже величинами Сиг. Значения С указаны в таблице 14.2.
Проверим теперь, выполняется ли основное условие применимости кинетического уравнения, выражаемое в случае невырожденного газа неравенством (2.22а). Очевидно, в качестве т в это неравенство надо подставить выражение (4.19), взятое для «существенных» электронов, т. е. при Е ~ kT. Тогда рассматриваемое усло-
вие принимает вид
Й/С(«у + 1<1. (4-20)
Подстановка типичных значений параметров (cs ~ 105 см/с, М о* 10"22 г, Ег сы. Ю эВ, F0 10-22 см3) показывает, что в случае
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА ФОНОНАМИ
473
акустического рассеяния условие (4.20) обычно выполняется. С другой стороны, при рассеянии на поляризационных оптических колебаниях нерасекство (4.20) может и нарушаться. Причина этого состоит в сравнительно большой энергии взаимодействия носителей заряда с поляризационными фононами (§ 3, п. г). Связанные с этим осложнения рассматриваются в гл. XVII.
Как и формула (4.15), данные таблицы 14.2 становятся несправедливыми при низких температурах, когда имеет место только рассеяние ка нулевых колебаниях решетки. В этом случае неприменима и формула (XIII.6.13), так как рассеяние носит неупругий характер: согласно (4.12) энергия фонона, испускаемого или поглощаемого в процессе рассеяния, оказывается здесь сравнимой с энергией самого носителя заряда. Все же и здесь можно ввести время релаксации квазиимпульса, определив его как характернее «время испускания» фонона:
В качестве аР (р, р') сюда следует подставить выражение (4.15'). Так, определенная величина есть не что иное, как «время жизни» электрона, в состоянии с квазиимпульсом р. Это время, вообще говоря, не совпадает с определенным ранее временем свободного пробега *).
Вычислим т (Е), считая, что рассеяние обусловлено оптическими колебаниями решетки (поляризационными или неполярными). Ограничимся при этом изотропным параболическим законом дисперсии и пренебрежем зависимостью со от квазиволнового вектора оптических фононов.
Для неполярных фононов мы получаем, подставляя (4.15') в (4.21):
Здесь В1 — | ?r"»(s) npta |2. Заметим, что в этом случае «приход» действительно не играет роли и выражение (4.22) дает обычное время релаксации- квазиимпульса. Его можно обобщить и на случай произвольных температур (в предположении о тепловом равновесии фононов). Для этой цели надо принять во внимание рассеяние не только на нулевых, но и на тепловых колебаниях решетки. Иначе говоря, надо принять во внимание зависимость времени релаксации от числа фононов п [со (q, s)], уже имеющихся в решетке. Как мы
