Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Специализируем теперь общие формулы (5.10) или (5.12) на случай рассеяния электронов и дырок атомами заряженной примеси, В германии и кремнии это могут быть, например, атомы элементов III или V групп (при температуре выше водородной), а также, при определенных условиях, атомы Li, Zn, Mn, Fe, Cu, Ni и т. д. Обозначим заряд примесного атома через Ze (целое число Z может быть как положительным, так и отрицательным). Тогда, казалось бы, потенциальная энергия должна иметь кулоновский вид (IV.7.1). На самом деле, однако, это неверно: формула (IV.7.1) несправедлива как на малых (порядка а), так и на больших расстояниях от примесного центра. Действительно, при г ~ а ионизованный атом примеси уже нельзя рассматривать как точечный заряд, что предполагается в формуле (IV.7.1). Далее, при столь малых расстояниях теряет смысл использование обычной (макроскопической) диэлектрической проницаемости е. С другой стороны, наличие в кристаллической решетке других свободных зарядов, а также других примесных центров приводит к экранированию всех электрических полей,
§ 5] РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА ПРИМЕСНЫМИ АТОМАМИ 479
в том числе и кулоновского поля данного иона примеси. В результате изменяется сам вид функции 8U (г), что существенно на расстояниях, сравнимых с радиусом экранирования.
Первое из указанных только что осложнений не очень существенно, если характерная длина волны носителей заряда велика по сравнению с постоянной решетки. Действительно, при этом взаимодействие на расстояниях порядка а не играет роли: электрон нельзя локализовать в объеме, линейные размеры которого меньше длины волны. В невырожденном газе характерная длина волны есть h/YtnkT] в газе, полностью вырожденном, она составляет примерно гг'!\ где п — концентрация частиц (электронов или дырок). Таким образом, в условиях, когда, в зависимости от степени вырождения,
или (5.15)
осложнениями, возникающими на расстояниях г ~ а, можно пренебречь.
Условия (5.15) обычно хорошо выполняются. Так, например, при Т = 300 К и m = m0 мы имеем h/YmkT ~ Ю"8 см. Поэтому в дальнейшем мы не будем принимать во внимание отклонение 8U (г) от вида (IV.7.1) при г ~ а. Соответственно для 8U (г) можно воспользоваться выражением, полученным в Приложении XII:
би(г) = #'«р(-^)- (в.16>
Подставляя это в правую часть (5.9), придем к интегралу
/= j r-1exp[-^- + ^-(p-p', г)] dr.
Главную роль в нем играют значения г, близкие к г0. Поэтому мы вправе считать здесь объем системы бесконечно большим. Тогда интеграл легко вычисляется (в сферических координатах) и мы по-
лучаем
S(p. P^^lffS-РТГ (5Л7)
При этом, в силу упругости рассеяния, Е (р) = Е (р'). При параболическом законе дисперсии р1 = 2тЕ (р) и, следовательно, формулу (5.17) можно переписать в виде
с /п 32.n3/i3,V,Z%4 /с iq\
‘МР’ Р )— е2[й2/--2 + 4от?(р)(1_СО8 0)]2*
Это есть выражение вида (XIII.6.5).
Комбинируя теперь формулы (5.11), (5.12) и (5.18), мы получаем
?]• (519)
480
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
гдэ
х = 8тЫ==16лЯ/1' (5 20)
Мы ввели здесь длину волны де Бройля к — ¦%. В невы-
V 2тЕ'
рожденном газе при Е ~ kT, как и в вырожденном при E — Z, параметр х обычно оказывается большим (х > 1). Тогда формула (5.19) принимает вид
1 л Nf
~ ё?Ё‘~г
Если формально положить здесь г0->- со, то обратное время релаксации тг1 обратится в бесконечность, а время релаксации, подвижность и т. д. — в нуль, что, разумеется, резко противоречит опыту. Случай г0->- оо означает переход от дебаевского закона (5.16) к ку-лоновскому (IV.7.1), т. е. пренебрежение экранированием. Именно по этой причине учет экранирования в задаче о рассеянии носителей заряда атомами заряженной примеси необходим принципиально. Заметим, однако, что точная форма закона экранирования здесь не очень существенна, ибо радиус экранирования г0 входит только в аргумент медленно меняющейся функции — логарифма.
Заметим, что, с точностью до медленно меняющегося логарифмического множителя, формулу (5.19') можно переписать в виде
(4.19); в рассматриваемом случае
г = + 3/2. (5.19")
Пределы применимости формулы (5.19') определяются неравенствами (5.14) и (2.22а, б). В случае невырожденного электронного газа условие (2.22а) можно переписать в виде
2nN(ab In rb) < [*Г)5/2. (5.21)
При Ев = 0,01 эВ и ав = 4 • 10-7 см это дает
^<1013ГЧ
причем концентрацию Nt следует измерять в см-3, а температуру — в градусах ‘Кельвина.
