Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Видно, далее, что вероятность перехода отлична от нуля, только если имеют место соотношения
в случае испускания фонона.
Эти соотношения представляют собой не что иное, как законы сохранения: рассеяние с участием фонона возможно, только если квазиимпульс электрона изменяется на вполне определенную величину ±Hq, связанную формулой де Бройля с квазиволновым вектором фонона q. Это дает основание назвать вектор Hq квазиимпульсом фонона.
В § XII.6 было показано, что фононам следует приписать энергию /ш (q, s). Видим теперь, что зависимость со (q, s) можно рассматривать как закон дисперсии для фононов. Тем самым завершается обоснование представления о фононах как о квазичастицах.
В связи с соотношениями (4.7а, б) следует сделать три замечания.
Во-первых, вывод этих законов сохранения не связан непременно с методом эффективной массы. Как можно показать (см. Приложение XIV), тот же результат получится и при использовании точных функций Блоха -фр вместо плоских волн (4.5). При этом следует лишь помнить, что векторы q и р/Н определены с точностью до вектора обратной решетки Ь. Поэтому и законы сохранения (4.7а, б) надо понимать как равенства по модулю НЪ. Процессы рассеяния, при которых р — р' = —Hq + НЪ или р — р' = ^q + ^b, называются процессами переброса. Учет их существен, если вектор р — р' может выйти за пределы первой зоны Бриллюэна — тогда добавление слагаемого НЪ вновь приводит вектор Hq в первую зону. В дальнейшем мы не будем явно отмечать это обстоятельство. В принятых ранее условиях (минимум энергии носителей заряда расположен в центре зоны Бриллюэна) процессы переброса в интересующих нас задачах оказываются несущественными.
Во-вторых, подчеркнем, что недопустимо смешивать квазиимпульс с импульсом: Hq не есть собственное значение оператора импульса решетки.
Наконец, в-третьих, видно, что длины волн фононов, испускаемых или поглощаемых при рассеянии, — порядка длины, волны электрона. Большинство таких фононов (в случае невырожденного электрон-
р-р' = — Hq в случае поглощения фонона и
Р — P' = flq
(4.7а)
(4.76)
468 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЁАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
ного газа) будет иметь длину волны порядка h/YmkT (~10~6 см при обычных значениях температуры и эффективной массы). Эта величина значительно превышает постоянную решетки, что и оправдывает сделанное в § 3 предположение о доминирующей роли длинноволновых фононов в процессе взаимодействия с носителями заряда.
Обратимся теперь к вычислению вероятности перехода (р. р')-Согласно (4.3) и (4.6а, б)
|(Р', I, п'\Н'\р, I, п) |2 =
= I Н' (ч» 1) I2 П ^п’ (ч'. s'). п (ч'. s') {п (Ч> 1) 6п' (q. 1), л (q, 1) - 1 +
q', s'
>)
-j-[rt(q, 1) + l]6n'(q, 1), n(q, l) + l}, (4.8) p—p'
причем под q следует понимать — в первом слагаемом и
р — во втором. Таким образом, вероятность перехода с данным
изменением квазиимпульса электрона р — р' складывается из вероятностей поглощения и испускания фонона:
^«<Р. Р') = ^погл + ^исп- (4.9)
Величины а^огл и аРвсп легко найти, подставляя (4.8) в формулу
(2.19). Для аргументов дельта-функции в (2.18) мы получаем при этом, согласно (XII.6.2),
Е(р', I, п') — Е (р, /, «) =
= ?(р\ 0~Е(р, 0+ 2 »«a(4',s')[n'(q', О~«(Я', *')] = (4.10)
q’. s'
= ?(р', [)-Е(р, 0±й<»(±*=?, ®). (4.Ю')
Верхний и нижний знаки здесь относятся, соответственно, к испусканию и поглощению фонона. Видно, что испусканию или поглощению фонона с квазиимпульсом 1iq — ± (р — р') соответствует уменьшение или увеличение энергии электрона — как раз на величину Йсо (q, s). Так, конечно, и должно было получиться.
При рассеянии на оптических фононах частота близка к предельному значению <о0 (§ XII.3). Предположение об упругости рассеяния выполняется при этом, лишь если средняя энергия носителей заряда достаточно велика. Так, в случае невырожденного газа должно выполняться неравенство *)
/г7>/ш0. (4.11)
*) Условие (4.11) может оказаться очень жестким, ибо значения йш0 могут составить несколько сотых эВ.
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА ФОНОНАМИ
469
В противном случае рассеяние становится существенно неупругим и задача о решении кинетического уравнения заметно усложняется (так обычно обстоит дело в случае междолинного рассеяния).
Положение вновь упрощается лишь при достаточно низких температурах, когда йсо0 kT. При этом практически все электроны могут только поглощать оптические фононы. Поглотив такой фонон, электрон, однако, почти мгновенно вновь испускает его: согласно принципу детального равновесия (XIII.4.4) отношение вероятностей испускания и поглощения фонона составляет ехр (haJkT). Этот процесс называется составные рассеянием. В результате энергия электрона изменяется лишь незначительно. В самом деле, если бы частота оптического фонона со вообще не зависела от его квазиволно-вого вектора, энергия электрона, испытавшего составное рассеяние, осталась бы неизменной. За счет слабой зависимости со от q изменение энергии все же имеет место, но оно оказывается сравнительно небольшим: составное рассеяние — почти упругое. Это позволяет вновь ввести время релаксации [М7]; очевидно, оно пропорционально ехр (— На0/кТ). Другая возможность, также возникающая при низких температурах, рассматривается в конце этого параграфа.
