Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
*) Такое совпадение имело бы место, если бы в кинетическом уравнении можно было опустить член «прихода» (XIII.3.7). Действительно, правая часть (4.21) есть не что иное, как интеграл «ухода» В (XIII.3.8) при / (р, г) ==* 1, } (р', г') < 1. Как видно из формулы(ХШ.6.12), член «прихода» не играет роли, если # (Р. Р') не зависит от угла рассеяния.
(4.21)
(4.22)
474
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
знаем, вероятности переходов с испусканием и поглощением фононов пропорциональны, соответственно, п [со (q, s)] + 1 и п [со (q, s)]. Таким образом, искомое обобщение получается, если в правую часть
(4,22) ввести множитель
2 И
ехр
ptoo (s) j
(в данном случае со (q, s) = со0 (s)).
Для поляризационных фононов формула (4.15') с учетом таблицы 14.1 дает
1
т(?) _
_ Уд V 2т В2 ' Г Е _ Л*/* 1 ]пУЕ+УЕ-Нщ(з) „ ^
4яМ V(s) L^Wo (s) J У E (Е—Нщ(s)) VE — YE — Пщ (s) ‘
Здесь R~ — r4itZe2(^fi+^)l2; суммирование no s отпадает, так как
L v0v мгм2 J
в данном случае значок s отвечает только продольной ветви.
При Е —! йсо0 (s) Е равенство (4.23) принимает вид, аналогичный {4.22):
I УоУ2т В2 Г Е Л*/* /д
т (Е) ~ 2пМ У йшо (s) Ё [йсо0 (s) J
Формулы (4.22) и (4.23') можно переписать в виде
* *4-24)
S
где т0 (s) — характерное время, явное выражение для которого вытекает из сопоставления правых частей (4.24) и (4.22), (4.23').
При Пщ (s) kT и равновесном распределении носителей
заряда по энергиям число электронов, способных испускать оптические фононы, пропорционально ехр[—йсо0 (s)/kT], Следовательно, в этих условиях рассеяние, характеризуемое временами релаксации (4.22) и (4.23), столь же маловероятно, сколь и составное. Положение, однако, может измениться в достаточно сильном электрическом поле, когда электронному газу сообщается достаточно большая энергия (гл. XVI).
§ 5. Рассеяние носителей заряда примесными атомами
При рассеянии электронов неподвижными примесными атомами оператор Я' имеет вид
bU(r-R{), (5.1)
i = 1
5]
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА ПРИМЕСНЫМИ АТОМАМИ
475
Здесь значок i нумерует атомы примеси, R; есть радиус-вектор i-ro атома, 8U (г — R,) — потенциальная энергия взаимодействия электрона с ним, N — полное число атомов примеси в кристалле. Состояние решетки в данном случае не изменяется при рассеянии, поэтому сумма по п' в формуле (2.19) исчезает (п‘ — п), и мы получаем, на основании (2.19) и (5.1),
&а(Р, Р’) =
2л
V
N
$Ч>Р'(г) 2 et/(r-Wp(r) dr
б (Е (Р) — Е (р')). (5.2)
В рамках метода эффективной массы, которым мы будем пользоваться, функции Блоха г|)р и "фр. следует заменить просто плоскими волнами (4.5).
Как видно из формулы (5.2), рассеяние в данном случае носит упругий характер. Причина этого ясна: мы рассматриваем атомы примеси просто как фиксированные в пространстве силовые центры, пренебрегая возможным их движением. Такая постановка задачи оправдывается большой (по сравнению с т) массой атома примеси Mt.
Подставляя в (5.2) функции г|)р и г|у в виде (4.5) и возводя в квадрат сумму в (5.2), получаем
= ^ + Лг) 6 (? (р) “ ? (р')>.
N
Ai=2 Sdrьи (г ~ехр [т (р_р'>г)]
/=1
N
4=2 2 f dr1 bU (rx — R;)ехр [у (р — р', r^jx
/ = 1 /' = 1
и'*п С г i 1
х\<Ьлби(гг-Ъг)ехр[-Т(р-р', r2)J. (5.46)
Как известно из квантовой механики ([М2], § 95; [М3], § 296), выражение
а (Р> Р')= [mtf1 J dr 8U (г ~ R/) ехР [т (Р ” Р'* г)] f М
представляет собой отнесенное к единице телесного угла эффективное сечение упругого рассеяния электрона силовым центром, расположенным в точке R,-. Следовательно, правая часть (5.4а) описывает рассеяние электрона всеми N примесными атомами при условии, что рассеяние на каждом из них происходит независимо от всех остальных. Иначе говоря, величина Аг характеризует рассеяние, которое имело бы место в отсутствие интерференции электронных
где
(5.3)
(5.4а)
N N
476
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОИ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
волн, рассеянных разными атомами примеси. Такое рассеяние называется некогерентным. Легко убедиться, что все члены, входящие в сумму по / в (5.4а), одинаковы. Действительно, произведем в каждом интеграле замену переменных, полагая
г — R/ = r'.
Получим
| dr bU (г — R;) ехр
= ехр
(5.6)
?(р-р\ ф
-Jf(p-p\ R/)] J dr'6t/(r')exp[^(p —р', г')].
Зависимость от значка / входит сюда только через фазовый множитель, который обращается в единицу при составлении модуля. Таким образом,
