Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
е. Сводка формул. Выражения (3.7), (3.10), (3.20) и (3.31) можно записать единым образом:
Н' = Е\Н' (3> s)fr(4- s)eiqr-Ftf'*(q, s) b* (q, s)e-^}, (3.32)
a, s
где
§ 4] РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА ФОНОНАМИ 4G5
а через В (q, s) обозначена функция, характеризующая данный тип взаимодействия. Выражения для нее, равно как и значения s, по которым следует производить суммирование, приведены в таблице 14.1.
Таблица 14.1
Коэффициенты 8 (q, s) для разных механизмов рассеяния
Акустические Акустические Неполярные Поляризационные
фэноны фонолы оптические (продольные)
(потенциал (пьезоэлектриче фононы фонрны
деформации) ский потенциал)
B(q,s) №№))*) 1, 2. 3 (Ео Ю) *) 4лiZe2 а)
Значе 1, 2, 3 4, 5, ... qVо УМ-[М,
ния S 4
*) В скобках во втором и четвертом столбцах указаны упрощенные выражения, соответствующие формулам (3.3) и (3.9).
Выражение, стоящее в четвертом столбце, могло бы описывать и взаимодействие носителя заряда с фононами, ответственными за переходы между различными «долинами» в полупроводнике с несколькими эквивалентными минимумами энергии — в п-Ge, «-Si и др. Следует лишь заменить величину ?аряр?з другой — также определяемой из опыта — константой размерности энергии и разрешить значку s принимать все значения, начиная с единицы. Действительно, точки в зоне Бриллюэна, отвечающие эквивалентным минимумам энергии, обычно отстоят друг от друга на расстояние, сравнимое с размерами самой зоны — близкое к постоянной обратной решетки. Следовательно и квазиволнсвые Еекторы фононов, испускаемых или поглощаемых при переходах электронов из одной «долины» в другую, должны быть по модулю порядка этой постоянной. Как мы видели в гл. XII, при этом различие между оптическими и акустическими фононами в значительной мере теряется.
§ 4. Рассеяние носителей заряда фононами
Согласно (2.19) вычисление коэффициентов сводится
к расчету матричного элемента
(р', /, n'|#!p, I, = (4.1)
q. s
Как и в § 2, обозначим совокупность чисел р, I, п (р\ /',«') через Я (К'),
466 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
Поскольку функции % и o|v описывают газ фононов и электрон, не взаимодействующие друг с другом, мы имеем
% = Фр(г)Фл. (4.2)
Функция фр (г) есть не что иное, как функция Блоха, описывающая поведение электрона в идеальной решетке, а Ф„— волновая функция системы независимых гармонических осцилляторов (XII.5.5), Подставляя выражения (3.32), (3.32г) и (4.2) в правую часть
(4.1), мы получаем
(р\ I, п'\Н'\ Р, /, п) = 23 Iя' (<ь s)A + Н'т (q, s)А], (4.3)
q. s
где
Л = Wp‘ei<iTb dr \ фп'Ь (q, s)0>„ П dXq"s"f (4.4а)
q", s”
Л = \ 'Фр'е~‘чг^р^г С Ф„-6* (q, s) Ф„ J][ dxq"s". (4.46)
q". S"
Каждая из величин /2 представляет собой произведение интегралов по координатам электрона и по нормальным координатам решетки. Последние легко вычисляются с помощью соотноше-
й
/а
это— как раз
ний (XII.5.16); с точностью др множителя 2 [g^o
интегралы (XII.5.12). Для вычисления интегралов по г заметим, что в интересующем нас случае длинных волн решетки оператор (3.32) представляет собой возмущение, лишь очень медленно изменяющееся на протяжении постоянной решетки а. Следовательно, мы вправе воспользоваться методом эффективной массы, заменяя функцию Блоха фр плоской волной
фр (г) = !/-'/*/РГ' (4.5)
Множитель V-1/i в (4.5) выбран в соответствии с условием нормировки (2.2).
Подставляя (4.5) в (4.4а, б) и принимая во внимание равенства (XII.5.12) и (XII.5.14), мы получаем
А — + ftk, Р' У Я (q> 1) JX XT ^n'(4'.s'),n(q'ts')Sn'(q, 1), n{q, 1) —1» (4.6а)
q’jtq s'jbl
—Sp — ftk, p’ (q, 1)-j-1 | j X I S/t' (q't s'), n (q', s')$n' (q, I), n (q, 1) + 1 •
q'^tq s'
(4.66)
Видно, что матричные элементы оператора Н' (а с ними и вероятность перехода) отличны от нуля, только если числа фононов п (q, 1) в начальном и конечном состояниях различны. Иначе говоря', процесс взаимодействия электронов с фононами состоит в испускании и поглощении последних. При этом в принятом приближении
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА ФОНОНАМИ
467
(первое приближение теории возмущений и линейная по нормальным координатам форма оператора энергии взаимодействия) возможны только однофононные процессы: в каждом акте взаимодействия испускается или поглощается только один фонон. Очевидно, слагаемое с^ соответствует рассеянию с поглощением, а с —рассеянию с испусканием фонона.
