Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ПОДВИЖНОСТЬ, ХОЛЛ-ФАКТОР И ТЕРМОЭДО
483
Таким путем находим
Шар. прим —¦
8е*У 2 (kTp*
(6.3')
Это соотношение называют формулой Брукса — Херринга *).
Температурная зависимость подвижности, характеризуемая числом р, имеет ясное происхождение. Действительно, в рассматриваемых условиях среднее число фононов, имеющихся в решетке, пропорционально Т; при рассеянии на фононах подвижность, очевидно, обратно пропорциональна этому числу. Еще один множитель, Тг, связан с энергетической зависимостью времени свободного пробега (4.19): в отсутствие фермиевского вырождения каждый множитель Е под знаком интеграла в (XIII.7.20) приво7 дит к появлению множителя kT в окончательном результате, Таким образом, при рассеянии на фононах
При рассеянии на примеси первый из указанных выше факторов отпадает (вместо него появляется NJ1); в результате
Таким образом, температурная зависимость подвижности, выражаемая формулой (6.1) и данными таблицы 14.3, обусловлена двумя факторами: условием равнораспределения энергии по степеням свободы (4.14) (при рассеянии на фононах) и предположением
о квадратичном законе дисперсии.
Учет анизотропии изоэнергетических поверхностей (в рамках параболического закона дисперсии) приводит лишь к изменению коэффициента А в формуле (6.1).
Ситуация становится более сложной при наличии магнитного поля: в этом случае анизотропия изоэнергетических поверхностей играет более существенную роль. Действительно, в одном лишь электрическом поле дрейфовая скорость носителей заряда Va постоянна по направлению, а сила, действующая на электрон, не зависит от vd, т. е. задана. Поэтому движение электрона в электрическом или температурном поле в любой момент времени определяется одной и той же (хотя, вообще говоря, и зависящей от направления поля) эффективной массой. Результаты для анизотропной и изотропной систем различаются здесь, в конце концов, только численными коэффициентами. С другой стороны, в магнитном поле траектория электрона не прямолинейна, а сила, на него действующая, зависит
*) Аналогичное выражение, отличающееся от (6.3') лишь аргументом логарифма (благодаря менее последовательному учету экранирования), было ранее получено Конвелл и Вайскопфом. По этой причине часто употребляется и название «формула Конвелл—Вайскопфа»,
р = г — 1.
(6.4)
H^NtlTr, р = г.
(6.5)
484
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ Б НЕИДЕАЛЬНОП РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
от дрейфовой скорости. Поэтому в анизотропной системе ускорение электрона в различные моменты времени определяется различными эффективными массами. Отличие от изотропной системы здесь оказывается принципиальным.
§ 7. Одновременное действие нескольких механизмов рассеяния
В реальных условиях опыта могут одновременно играть роль несколько механизмов рассеяния. Поэтому возникает вопрос о вычислении подвижности и других кинетических коэффициентов при одновременном действии нескольких таких механизмов.
Будем считать известными вероятности перехода для каждого механизма рассеяния в отдельности. Обозначим их через е?5,- (р, р'), где индекс i нумерует различные механизмы. Допустим, далее, что процессы рассеяния, связанные с различными механизмами, представляют собой независимые события. Тогда, интересующая нас полная рероятность рассеяния дается суммой
^<р. р')=И^(р- р'). (7'i)
?
Это соотношение справедливо независимо от того, можно ли ввести соответствующее время релаксации для того или иного механизма рассеяния; оно не зависит также от каких-либо предположений относительно изотропии системы. Если можно ввести времена релаксации т( (Е), то из равенства (7.1) вытекает правило сложения обратных времен релаксации:
= (7-2^
i
Действительно, согласно формуле (XIII.6.12) обратное время релаксации т;1 линейно выражается через вероятность соответствующего перехода.
Иногда вместо формулы (7.2) пользуются соответствующим соотношением для обратных подвижностей:
hlh- <7-2->
L
Здесь ц, — наблюдаемая на опыте подвижность дрейфа, а |х; — подвижность, которая наблюдалась бы, если бы имел место только i-fi механизм рассеяния. Следует, однако, иметь в виду, что равенство (7.2') эквивалентно (7.2) только в очень специальном случае, когда все времена тг не зависят от энергии. Как правило, времена релаксации от энергии зависят и соотношение (7.2'), строго говоря, не выполняется. В зависимости от конкретных условий опыта ошибка при его использовании может достигать 40—50%.
§ 7] ОДНОВРЕМЕННОЕ ДЕЙСТВИЕ НЕСКОЛЬКИХ МЕХАНИЗМОВ 485
Как видно из формулы (7.2) (и очевидно заранее), главную роль играет тот механизм рассеяния, которому соответствует наименьшее время релаксации (и, следовательно, наименьшее значение подвижности). При изменении температуры относительная роль различных механизмов может меняться. Так, в германии при комнатной температуре и концентрации примеси, не большей примерно 1016 см'3, главную роль играет рассеяние носителей заряда акустическими фононами. К нему добавляется рассеяние неполярными оптическими фононами. Легко видеть, что последнее приводит к усилению температурной зависимости подвижности. В самом деле, соответствующая вероятность рассеяния обратно пропорциональна числу фононов
