Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
С другой стороны, при рассеянии на акустических фононах рассеяние оказывается почти упругим. Действительно, в этсм случае для частоты to (q, s) можно воспользоваться формулой (XII.3.3'). Соответственно выражение (4.10') принимает вид
где cs — фазовая скорость продольных (s = 1) и поперечных (s = 2, 3) звуковых волн.
Пусть газ носителей заряда не вырожден. Тогда | р — р' | ^ ~ УmkT и, следовательно,
где vt — yWlm — величина порядка средней тепловой скорости носителя заряда. Как правило, yr ~ 107 см/с, в то время как -—' 5 -105 см/с: электроны движутся в среднем гораздо быстрее звука. Причина этого ясна: распространение звуковой волны в кристалле связано со смещениями тяжелых частиц—атомов-решетки. Полагая для оценки m = m0, видим, что скорости cs и vT сравниваются при температуре ~ 3 К- При более высоких температурах последним слагаемым в (4.10") можно пренебречь: благодаря малости отношения (4.12) изменение энергии электрона при испускании или поглощении акустического фонона, как правило, мало по еравнению с самой этой энергией. При этом аргументы дельтафункций в формулах для $>потл и становятся одинаковыми
и равными просто разности энергий электрона в начальном и конечном состояниях.
(4.10")
(4.12)
470 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
В условиях почти упругого рассеяния мы получаем, комбинируя формулы (4.8) и (2.19):
а'""=а-"]иД.(?,Ул(<|- 5)6<?(р)-?(р'»> <413а>
= »)+1]6(?(Р)-?-(Р')>. (4.136)
причем Hq = | р — р' |.
Отношение V/G = V0 представляет собой, очевидно, не что иное, как объем элементарной ячейки. При G -> оо, V ->оо эта величина (а с, ней и вероятность перехода) остается конечной (и не зависит от У), как это и должно быть. Заметим, что VJM =р-1, где р—» плотность кристалла.
Как видно из формул (4.13а, б), не только вероятность поглощения, но и вероятность испускания фонона зависит от числа фононов, уже имеющихся в образце. Это есть аналог хорошо известного в оптике явления — вынужденного излучения света (см, ниже § XVIII.4).
При п (q, s) -> 0 вероятность поглощения фонона, естественно обращается в нуль, но вероятность испускания остается конечной благодаря наличию второго слагаемого в квадратных скобках в формуле (4.136). Это есть аналог сп'онтанного излучения фотонов (ср. гл. XVIII). Физическая причина его состоит во взаимодействии носителей заряда с нулевыми колебаниями решетки.
Числа заполнения фононных состояний ti (q, s), входящие в формулы (4.13а, б), строго говоря неизвестны: для них надо было бы составить кинетическое уравнение типа (XIII.3.12). Мы получили бы тогда систему кинетических уравнений для функций f (р) и п (q, s). Заметим, однако, что величины и (5\ входят в интеграл столкновений, где они умножаются на неравновесную часть функции распределения электронов fv Можно думать поэтому, что хорошее приближение получится, если взять для ti (q, s) равновесное выражение (XII.6.3) *). При этом, в силу (4.11) и (4.12), функцию Планка (XI 1.6.3) можно аппроксимировать классическим выражением, отвечающим равнораспределению энергии по степеням свободы:
ПМЧ. (4-14)
*) Это рассуждение может оказаться несправедливым при наличии в кристалле градиента температуры. Действительно, при этом возникает поток фопо-нов, направленный от «горячего» конца к «холодному». Сталкиваясь с носителями заряда, фононы увлекают их за собой, что может заметно увеличить термоэдс. Этот эффект увлечения был впервые теоретически исследован в 1945 г. Л. Э. Гуревичем. Расчет показывает, что в полупроводниках он может быть важен при низких температурах.
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА ФОНОНАМИ
471
Формулы (4.13а, б) и (4.9) дают теперь
<^ = <^^ = ^^15(4, s) |2 8 [Е (р) — Е (р')]. (4.15)
Формула (4.15) становится несправедливой при достаточно низких температурах (Т <; TD — дебаевской температуры), когда энергия фонона оказывается больше kT и п (q, s) -*• 0. В этом случае ^погл -> 0, а для <^исп мы получаем
^ s)|26[?(p)-?(p')-^(q, s)], (4.15')
причем ftq = | р— р' | (разумеется, Е (р)>йм (q, s)). Выражение (4.15') характеризует вероятность рассеяния электронов нулевыми колебаниями решетки.
Значения В (q, s) для разных механизмов рассеяния приведены в таблице 14.1. Из нее явствует, что правая часть (4.15) действительно имеет вид (XIII.6.1), (XIII.6.5), коль скоро речь идет о рассеянии на рптических фононах. Так же обстоит дело и при рассеянии на акустических фононах за счет потенциала деформации, если используется «изотропная» аппроксимация (3.3). С другой стороны, вероятность рассеяния, обусловленного пьезоэлектрическим потенциалом, оказывается существенно анизотропной: согласно (3.30) функция f (б, ф) существенно зависит от ориентации вектора q относительно кристаллографических осей. При расчетах ориентировочного характера иногда пользуются упрощенным выражением для ^пьезо. заменяя функцию /а (0, ф) средним ее значением
