Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
вместо формулы (XIV.3.5') мы будем иметь простое соотношение
А ? = ?'1«, (2.1)
в которое входит лишь одна компонента потенциала деформации Ег. Соответственно сила, действующая на электрон, равна
F=-TT=-^s = -^w- <2-2>
УПРУГИЕ ВОЛНЫ и ЭЛЕКТРОНЫ ПРОВОДИМОСТИ
491
где Q — смещение рассматриваемой точки. . Эта сила имеет неэлектростатическое происхождение и должна учитываться как сторонняя (или электродвижущая) сила. Напряженность поля этих сторонних сил 8* (сила на единицу положительного заряда) есть
8*=ТК- <2-3>
Формула для электростатической индукции при учете пьезоэлектрического эффекта имеет вид (XIV.3.21)
& = — 4л(5и. (2.4)
Здесь Р — соответствующая компонента пьезоэлектрического мо--дуля, а —Р[х = оР есть электрический момент единицы объема, возникающий при деформации.
Наряду с прямым пьезоэлектрическим эффектом, выражаемым формулой (2.4) (возникновение поляризации при деформации), необходимо также учитывать и обратный эффект (появление деформации или, соответственно, механических напряжений при-поляризации). Поэтому, если s—механическое напряжение (в нашем случае сила в направлении X, рассчитанная на единичную площадку с нормалью по оси X), а Л — модуль упругости, то, согласно (XIV. 3.22),
s = A« + f5g, (2.5)
где второе слагаемое справа описывает обратный пьезоэлектрический эффект.
Оценим теперь порядок величины обоих взаимодействий. Для этого положим, что в диэлектрическом кристалле распространяется гармоническая волна деформации
и = иг ехр [г (qx — <of)]. (2.6)
Так как в диэлектрике, согласно уравнению Пуассона,
div© = 0,
то 3) = const. Тогда из (2.4) следует, что переменное электрическое поле §, вызываемое пьезоэлектрическим эффектом, равно
| = ^«. (2.7)
С другой стороны, плотность потока энергии в волне (интенсивность звука) есть
l = ~Aii\vs. (2.8)
Отсюда можно найти амплитуду поля при заданной интенсивности звука. Это поле в сильных пьезоэлектриках, каковыми являются, например, кристаллы соединений AHBVI (CdS, ZnS и др.),
492
АКУСТО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. XV
может быть весьма значительным. Принимая для оценок типичнее значения: A ~ 1012 дин/'см2, е ~ 10, vs ~ 105 см/с и | {3 | ~ 105 ед. СГСЭ, по формулам (2.7) и (2.8) мы находим, что при / ~ 1 Вт/см2 = 107 эрг/см2-с амплитуда деформации иг ~ 10~б -г- Ю-4, а I может достигать нескольких ед. СГСЭ, или — 103 В/см.
Для взаимодействия через, потенциал деформации из (2.3) и (2.6) получается
Отношение величин обоих полей равно
Отсюда видно, что относительная роль деформационного взаимодействия тем больше, чем больше частота со. Так как Ег обычно имеет порядок 1 10 эВ (~10"12 эрг), то, используя прежние оценочные
значения (5, е и vs, мы находим по формуле (2:10), что | Ъ | = | ё*| при со — 1012 с-1. Следовательно, при частотах колебаний ш/2я << 1011 Гц в пьезоэлектрических кристаллах деформационным взаимодействием можно пренебречь по сравнению с пьезоэлектрическим.
2. В дальнейшем мы сначала рассмотрим случай этих «низких» частот звука и пьезоэлектрических кристаллов. В соответствии со сказанным выше мы будем учитывать только пьезоэлектрическое взаимодействие и пользоваться гидродинамическим описанием (.ql <; 1). Кристаллы будем считать имеющими электронную проводимость и влиянием дырок будем пренебрегать. Постоянные значения величин в отсутствие волны будем отмечать индексом «0». Тогда для определения электрических и механических величин мы имеем следующую систему уравнений. Выражение для плотности тока
о* -Ех • Е х
— I — qu — i —- ош.
е 1 eus
(2.9)
/ = е\х(п0 + п)(g0 + |) 4-eD~
(2.11)
и уравнение непрерывности
(2.12)
Здесь
ns = n-\-nt
(2.13)
есть полная концентрация избыточных электронов, которая складывается из концентрации в зоне п и концентрации электронов, связанных на ловушках, nt. Отметим, что отношение концентраций
УПРУГИЕ ВОЛНЫ В ПЬЕЗОДИЭЛЕКТРИКАХ
493
в литературе часто называют «фактором прилипания электронов» на ловушки. Далее, мы имеем уравнение Пуассона
-^ = -4 пепи (2.15)
два пьезоэлектрических соотношения
.# = е§ — 4л{5ы, (2.16)
s = A« + p| (2.17)
и, наконец, механическое уравнение движения среды
п д-Q _ ds _ , d2Q . о д% * о\
p-dW-'dx~A+ РаГ’ <2Л8>
где р — плотность среды.
Для определения связи между концентрациями пищ (или, что то же, фактора прилипания /) необходимы еще уравнения кинетики захвата электронов на примесные центры, рассмотренные в § IX.4. Для простейшего случая центров прилипания одного типа соответствующее уравнение имеет вид