Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Для доказательства второй теоремы о корреляции можно было бы воспользоваться той же формулой (I. 1) при температуре Т ф 0. Множитель
ехр (----тр—появился бы при этом — с учетом всех взаимодействий из
спектральных представлений для функций Грина. Суть дела, однако, можно понять, просто вычисляя концентрацию электронов п в той области энергий, в которой плотность состояний р(?) непрерывна. Для этой цели надо лишь соответственно ограничить область интегрирования по ? в общем выражении для полной концентрации электронов ([14], § 5):
ОО
п = 2 (2л)3 ^ dp ^ dE пр (Е) Im Gr (р, Е).
— ОО
Мы имеем
ОО
п = 2 (2л)3 ^ dp ^ dE пр (Е) Im Gr (р, Е),
Во
где, как и в § 1.5, Ец — минимальная энергия, при которой функция р (Е) отлична от нуля и непрерывна.
При Ео — F » Т равенство (I. 25') дает
п ~ ехр ( — г?°), (I. 26)
(I. 25) (I. 250
чем и доказывается вторая теорема о корреляции.
350
ПРИЛОЖЕНИЯ
Наконец, третью теорему о корреляции можно получить просто из закона сохранения полной энергии системы «вещество + фотоны» с учетом равенства (1.6.13). Действительно, поглощение светового кванта (или квантов) можно формально представить себе как процесс, состоящий из двух этапов. На первом этапе один электрон изымается из системы (или добавляется в нее) и она переходит в «промежуточное состояние», имея в нем на один электрон меньше (больше), чем в начальном. На втором этапе электрон возвращается (изымается) вновь, причем так, что конечная энергия системы N электронов отличается от начального своего значения.
Обозначим через Et, к, Ет, лг±( и Ef, N собственные значения энергии всей многоэлектронной системы соответственно в начальном, промежуточном и. конечном состояниях. Рассмотрим для простоты однофотонный переход, обозначая частоту света через соо. Очевидно,
/гш0 = EfN — ЕN ss Е2 — Е{, (I. 27)
где
Е2 = Ef,N — Ет, N ± 1> El — Ei, N — Ет, N ± 1-В силу (1.6.13) это доказывает нашу теорему.
II*. Поле упругих деформаций
Рассмотрим кристалл с элементарной ячейкой, содержащей г атомов. Заменяя часть их хаотически расположенными атомами примеси, мы получим-неупорядоченный раствор замещения. Положение узлов решетки в нем можно охарактеризовать, задавая номер атома в данной ячейке I и тройку координат центра элементарной ячейки g. Конфигурацию атомов растворенного вещества можно описать [31, 61], задав совокупность случайных величин c(g,l\) по определению c(g, /) = 1, если узел {g, /} занят атомом примеси, и c(g, I)—0, если узел {g, /} занят атомом растворителя.
Хаотичность расположения примесей в решетке может быть обусловлена двумя причинами.
Во-первых, при конечных температурах всегда имеют место термодинамические флуктуации состава [31]. При этом роль «примеси» могут играть и нерегулярно расположенные атомы тех же веществ, которые при Т = 0 образовывали бы твердый раствор.
Во-вторых, как обычно в примесных полупроводниках, хаотическое распределение атомов примеси в пространстве может быть навязано условиями легирования. Такое распределение метастабильно; однако время жизни его может быть очень велико (годы и более).
В силу различия атомных радиусов растворенного вещества и растворителя в решетке возникнут статические деформации: положения равновесия атомов изменятся по сравнению с идеальной решеткой. Обозначим сдвиг данного атома из положения равновесия (вектор смещения) через u(g,/). Значения компонент и вычисляются с помощью уравнений механики. Соответствующий расчет можно найти в книгах [31, 61]; мы здесь лишь формулируем результаты. Ограничимся при этом областью сравнительно малых флуктуаций, в которой справедливо правило Вегарда [31]. Оказывается, что в этом случае решетка испытывает деформацию двух типов — однородную и неоднородную. Первая, не нарушая пространственной периодичности системы, приводит лишь к изменению постоянных решетки; вторая, локализованная вблизи примесных атомов, приводит к случайным отклонениям структуры от периодической. Таким образом, вектор смещения можно записать в виде *)
и (g, /) = u(0, + ii(1)(g, /). (II. 1)
*) Принятые нами обозначения несколько отличаются от использованных в [31, 61].
ПРИЛОЖЕНИЯ
351
Однородная деформация, описываемая вектором и(0), получилась бы при строго периодическом расположении примесных атомов; неоднородная же связана с флуктуациями в их распределении. Соответственно величину c(g,l) также можно представить в виде
с (g, /) =¦<?(/) + Ас (в, /). (II. 2)
Здесь через c(l)= (c(g,l)) обозначена средняя атомная доля примеси в узле I.
Удобно представить u(1)(g, I) и Ac(g,l) в виде разложений Фурье, полагая
u<‘> (g, /) = О -1 ? е‘ кги (к, /), (II. 3)
к
