Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ac (g, /) =- О-1 ^ е1кв Ас (к, /). (II. 4)
к
Здесь G — общее число элементарных ячеек в решетке, к — волновой вектор, определенный в первой зоне Бриллюэна для решетки растворителя.
Функцию и (к, /) можно представить в виде разложения по собственным функциям динамической матрицы растворителя, описывающим нормальные колебания последней.
Рассмотрим сначала растворитель с решеткой Бравэ. Тогда г = 1, индекс I можно опустить, с (/) = с, и нормальные колебания принадлежат только к акустическому типу. При этом для и (к, /) = и(к) получается [61]
V *0*13 (<т, k) Ffr (к)
«а(к)= > --------------------------Ас (к). (II. 5)
*-> mat к
а= 1, 2, 3 а
Здесь а, р — векторные индексы (по повторяющимся индексам производится суммирование), ст-—номер ветви нормальных колебаний, W(j(k)—соответствующая частота, е(<Т, к)—единичный вектор поляризации, т — масса атома растворителя. Через fp(k) обозначена фурье-компонента силы /^(g — g'). действующей со стороны атома растворителя, находящегося в узле g, на атом примеси, расположенный в узле g'. По условию равновесия сумма всех сил, действующих на атом примеси, должна обращаться в нуль. Это означает, что при k -> О фурье-компонента Fp(k) должна обращаться в нуль, т. е.
Fa (k) -> а0 k . (II. 6)
р PY Y ' ’
Компоненты тензора apY могут зависеть от направления, по не от величины вектора к. В этих же условиях м<т(к) = sck, где sa— соответствующая скорость звука (она также может зависеть от направления к). Таким образом, длинноволновая часть выражения (П. 5) принимает вид
а а
Возвращаясь теперь к координатному представлению с помощью формул (П. 7) и (II. 3), следует заменить вектор с дискретными компонентами g тройкой непрерывно меняющихся координат х.
Энергия взаимодействия носителя заряда с плавной деформацией решетки дается выражением [1]
д»(а' (X)
352
ПРИЛОЖЕНИЕ
Здесь ?ар — компоненты тензора потенциала деформации. Пользуясь соотно шениями (II. 8) (II. 7), (11.6) и (II. 3), находим
Естественно, функция G(x)—случайная. Соответствующая бинарная корреляционная функция дается выражением
При g ф g' мы имеем (c(g)c(g')) = с2 и ^4gg, = 0. С другой стороны, если g = g', то Agg, = (с2 (g)) — с2, По определению функции c(g) квадрат ее равен ей самой. Таким образом, окончательно
(Дс (к) Дс* (к')> = Y, 0 (1 “ е~1 г) = с (1 - с) 06к к,, (II. 13)
Подставляя сюда в качестве С/(к) выражение (II. 10) и суммируя по всем значениям компонент вектора к, мы получили бы функцию б-образного вида. Отсюда явствует, что в рассматриваемой задаче существенным оказывается поведение U(к) при к, близком к вектору обратной решетки, и, следовательно, вектор смещения u(g) изменяется в пространстве отнюдь не плавно. Выражение (II. 8) при этом уже не справедливо, а детальный вид корреляционной функции зависит от конкретной модели системы; ясно лишь, что она должна быстро убывать с увеличением отношения | х — х' | к постоянной решетки d. Эти осложнения могли бы привести к большим вычислительным трудностям. Однако в ряде интересующих нас задач существенно лишь поведение электронных волновых функций в областях, линейные размеры которых
(II. 9)
к
где
(11.10)
(11.11) ¦
? (x-x') = G~2 ? U (к) t/*(k')eikx-ik'x'<Ac(k) дс* (к')>.
к, к'
В силу (II. 4)
<Дс (к) Ас* (к')> = ? e-iy*+iVs'Att’,
в, в'
где
= <Дс (g) дС (g')>.
По определению (II. 2)
Аев, = ([с (g) — с) [с (g') - с]) = (с (g) с (g')> — с\
Аее'-сО -с) 6gg,
(11.12)