Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
-^\dx ^dle™*1 (bjs(x, i\ С))е»
« — Px>f°Y "S' \dl2 \ dm e~iatl X /
2nmichz ^ i J /
ч
X[&q"(*2) + &-q(*2)] Z 0)s, COJ q). (3.6)
Здесь оставлены только резонансные слагаемые, которые дан^у-ся выражениями
К (со,-, (о*, со; q) = ^ ^ Л ^ ^ dt2 ехр (mst — + Ш2) X
к, к], к2
X Gc (к, к,; / - /,) Gu (к„ к2 - q; /, - t2) Gv (к2, к, t2 - t) (3.7)
и
hc (со,-, cos, со; q) = ^ ^ dt ^dix ^ di2 ехр (mj — + iai2) X
к» к)> ki
X G° (к, к2 - q; t ~t2)Gc (к2> кь 12 - /,) Gv (кь к, /, - /). (3.8)
При расцеплении мы, как и в предыдущих главах, считали, что случайное поле не перемешивает состояния с разными зонными индексами, т. е. зонный индекс (поставленный сверху у причинных функций Грина) остается хорошо определенным квантовым числом. При выводе равенства (3.6) матричные элементы оператора импульса psvc, plcv и электрон-фононного взаимодействия Vc, Vv считались слабо зависящими от к и q и были вынесены из-под знаков соответствующих сумм. Переходя в причинных функциях Грина к координатно-энергетическому представлению,
338 ГЛ. VI. РЕЗОНАНСНОЕ КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА
получаем для суммы в правой части (3.6)
Z VLhL (со,-, cos, со; q) = 6(co( —cos —со)/г(сог, со; q; С). (3.9)
1**С, V
Функция hi здесь содержит вклады от двух резонансных слагаемых (3.7) и (3.8):
h (со,-, со; q; С) = (2я)2 ^ rfx ^ dxx ^ dv G° (хь х2; v — со + сог) X
X {Gv (х2> х,; v - со) Vve~iqx' + Vce~iq*Gc (х2, х,; v + cot)} X
X Gv (хь х; v). (3.10)
В аргументе h(со/, ©;q; С) явно указана случайная величина С, от которой зависит эта функция через «одетые» случайным полем причинные функции Грина.
Пусть теперь, как и в предыдущем параграфе, операторы bq(t), bq (t) даются выражениями (2.41). Тогда интеграл по t% в правой части (3.6) дает б-функцию б (со ± co^ q), т. е., согласно
(3.9), cos = (o(. ± сот , чего и следовало ожидать при однофонон-ном комбинационном рассеянии.
Подставляя выражение (3.6) в правую часть (1.20), находим дифференциальное сечение рассеяния в виде *)
_ / jf_V 1 PlcPlcu I2 x
dQdws стоке V'VV ml
X Z 6 (®« — C0S — coq) (1 + yvq) | й (со,-, со,- — COs; q) |2. (3.11)
q
Здесь
h, (со,-, со; q) = ^ dC р{ (С) h (со/, со; q; С) (3.12)
есть усредненная по случайной величине С функция (3.10), а Nq есть фононное число заполнения:
N =-------тг-Лтл—г- (3.13)
1 ехр (Acoq//) — 1 ' '
При выводе формулы (3.11) мы, как и раньше, принимали во внимание только стоксову компоненту рассеянного света, для которой cos = со,- — со,. Соответствующее выражение для антистоксовой компоненты получается с помощью одновременной замены C0q-> — COq ПОД знаком б-функции И Nq + 1 -»¦ Nq в (3.11).
Рассмотрим теперь более подробно материал, в котором имеют место флуктуации ширины запрещенной зоны, т. е. слу-
*) Для краткости здесь опущен несущественный численный множитель.
§ 3*. ВЛИЯНИЕ ГЛАДКОГО ПОЛЯ В СЛУЧАЕ 1С >
339
чайное поле зависит от зонного индекса (случай Б), § V.2). Здесь для вычисления функций Грина, фигурирующих в формуле (3.10), достаточно ограничиться классическим приближением*). Как мы сейчас увидим, усреднение по величине С в (3.12) сводится тогда, как и следовало ожидать, к усреднению по случайной части ширины запрещенной зоны, а функция pi(C) есть функция распределения соответствующих флуктуаций.
Причинные функции Грина, входящие в правую часть
(3.10), легко выразить через запаздывающие и опережающие. Действительно, из определения эгих функций [14] следует, что в случае полностью заполненной валентной зоны и совершенно пустой зоны проводимости мы имеем
Gv(x, х'; со) = Со(х, х'; со) (3.14)
и
Gc(x, х'; со) = Gr(x, х'; со). (3.15)
Здесь Ga (х, х'; со) и Gcr (х, х'; со) суть фурье-образы по времени от опережающей и запаздывающей одноэлектронных антикоммутаторных функций Грина валентной зоны и зоны проводимости соответственно. Функция Gcr (х, х'; со) для гладкого случай-
ного поля вычислена в приложении XII, выражение для Ga получается из Gcr стандартным путем. Таким образом, в классическом приближении по случайному полю мы имеем
Gr (х, х'; со) =
оо
= -J^yr 5 ds 5 ехр {is [Йсо+ — Ес (k) — Uc (R)] + ik (x — x')} (3.16)
0
и
Ga (x, x'; co) =
0
= — -j^yT ^ ds ^ dk exp {is [/но- — Ev (k) — Uv (R)] + гк (x — x')},
(3.17)
