Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
одноэлектронной задаче мы имели бы (сравните с (1.6.9))
г ( ' 1 / V ^ (Х) ^ (Х,) \ „ 04
X, ?)- 2я е _ + ,gTi (?) (1.3)
где е->+0, а т}— знаковая функция:
т) (Е) = sign (j? — F) = | _ J’
В дальнейшем будет удобно воспользоваться обычной записью
°с {Р) “ “ (2ji)j р0 - Я (р) - Л[с (р, р0) ’ (Г-4)
где Мс — массовый оператор*), сопоставленный причинной функции Грина, а Е(р)—энергия электрона, соответствующая решению вспомогательной задачи с периодическим полем. В аналогичном виде можно представить и опережающую и запаздывающую функции Грина, причем при Т = 0 имеют место соотношения
Gc (р) = 0 (ра — F0) Gr (р) + 0 (F0 — р0) Ga (р),
Мс (р) = 0 (Ро - F0) Mr (р) + 9 (F„ - ро) Ма (р). (1-
Далее, при любой температуре и р0 е Re
Re Gr (р) = Re Ga (p), Гт Gr (p) = — Im Ga (p). (1.6)
С помощью массового оператора удобно учитывать как взаимодействие электронов друг с другом, с фононами и т. д., так и их взаимодействие со случайным полем. В последнем случае, согласно (1.6.9), в области дискретного спектра Im М, = 0, коль скоро мы пренебрегаем взаимодействием электронов с фононами.
Выполняя явно дифференцирование по k в формуле (I. 1), мы получаем
Vco) = a<>> + a<2;, (1-7)
где
оо
°(</ = Ш(2я)4 sp \ dp Pi l!m \ dP^iPat х
t -> +0 J
— oo
Xr!0)(p, P0 + -y; p. Po--f-){oc (p, Pq-^JLgc (p, Po + ^ — -Gc (p, Po + -|-)JLgc (p. Po--f-)}, (1.8)
OO
ai2/==4r(23t)‘‘ Sp \ rfPP( Iim \ dpQeiPat X
-f-0 i)
— oo
XO«(p.Po + |-)0l(p,Po-2-)[J7rr(P+4, (1.9,
*) Это определение Mc отличается от принятого в [14] множителем (2л)8.
346
ПРИЛОЖЕНИЯ
IA
1
При наличии поверхности Ферми, когда компоненты квазиимпульса при энергии, близкой к фермиевской, представляют собой хорошие квантовые числа, первая теорема о корреляции справедлива тривиально. По этой причине мы будем рассматривать лишь характерный для неупорядоченных систем случай, когда затухание фермиевских квазичастиц всюду конечно и представление о четкой поверхности Ферми оказывается неоправданным*). При этом фигурирующие в дальнейшем функции G,(p) и Ga(p) не имеют полюсов на вещественной оси ро', далее, они суть непрерывные функции р.
Рассмотрим сначала второе слагаемое (1.9). Здесь удобно воспользоваться графическим методом. Вершинная часть Г^0) (р + k/2, р — k/2) определяется суммой диаграмм с тремя концами — одним фотонным и двумя электронными, причем первому соответствует 4-импульс k, а второму и третьему р + ?/2 и р — k/2 (рис. 31) (сами концы в диаграмму не включаются), В отсутствие каких-либо взаимодействий (в том числе и взаимодействия электронов со случайным полем) мы имели бы
Г<0)(р', р") = 1.
В общем случае можно написать
Г<°> (/>', р") = 1 + Л (р\ р").
(1.10)
(1.11)
Любое взаимодействие, встречающееся в нерелятивистской квантовой механике, можно представить как взаимодействие, переносимое некоторым квантовым бозевским полем (последнее может носить и чисто вспомогательный характер). Таким образом, типичные графики, входящие в состав Л, имеют вид, представленный на рис. 32. Пунктирным и сплошным линиям там отвечают «одетые» бозонные (Dc) и фермионные функции распространения; все вершины, однако, рассматриваются как затравочные, (I. 10), в силу чего и надо учитывать диаграммы типа рис. 32, в (их, как мы увидим, удобно рассматривать попарно). Рассмотрим графики типа рис. 32, а, б порядка 2п. С точностью до несущественного сейчас множителя им отвечают выражения
п
А*п ~ Ш Dc (it) *qPo (Р+ + Ь) а с К + <7, + <?2) ¦ • • хф-- Ё q\"G‘(P--qln-i-qIn)a°(P-~qlnY (L12)
Здесь для краткости введены обозначения:
р± = р ± k/2-,
(I. 13)
*) Разумеется, понятие «уровень Ферми», будучи чисто термодинамическим, остается в силе.
ПРИЛОЖЕНИЯ
347
/ь • ••> U — какие-нибудь числа из набора 1, п. Дифференцируя (Т. 12) по ku получим сумму членов вида
\Gc(P--«in_k-«in_k+- ••• - Ьп)-Щ°с(Р+ + ^+Я2+...+<?„+!)-
- Gc(P+ + ql + q2+ ... + <1к + 1)щ°с (Р- ~ Я1п_к ~
-q ¦ )\f, (1.14)
J n—k — i n'\
где F — функция симметричная относительно замены переменных интегрирования
91 =*=* ....Qk + l 4in_k- (L 15)
