Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
а+а3Ф = Ф, а+ааФ = ааФ = 0. (VII.2)
Условия (VII. 2) позволяют без труда найти точные выражения для одночастичной и двухчастичной запаздывающих функций Грина в и
G(k, Л';/)Ц(ах|4))1+) = /е(/)([ах (0), а+, (/)]+) (VII.3)
II
*(±) (*„ Л2; А3, к4; I <Ч,)){±' =
= /0 (t) ( [а+ (<) аи (t),a+ (0) (0)]±). (VI 1.4)
Угловые скобки в правых частях равенств (VII. 3) и (VII. 4) обозначают усреднение по основному состоянию рассматриваемой системы, т. е. квантовомеханическое усреднение с волновой функцией Ф.
В задаче с гамильтонианом (VII. 1) уравнение движения для функции G имеет вид
О -§f - ° - ZF u> %,,) I а^»<+)=-6^'6 (/)- (vn-5>
к"
Пользуясь правилами коммутации для операторов аК, а* и равенствами (VII. 2), легко убедиться, что здесь имеет место точное расцепление:
((aV'aX"a?. | a?))<+> = byi^G (Л, Л ; /). (VII.6)
Символ 6^/р означает, что состояние к" непременно должно принадлежать классу р, т. е. суммирование по X" в левой части (VII. 5) производится только по состояниям этого класса. Подставим (VII. 6) в уравнение (VII. 5) и выполним преобразование Фурье по времени t, полагая
+ оо
0(Л,Л';/) = jj <iEe~iEiG (К к'; Е).
Получим (к — а или к = р)
С (Л. к';Е) =------------(VI 1.7)
2я Е — Ек
где энергии Е\ даются выражениями (II. 16.6).
358
ПРИЛОЖЕНИЯ
Для функций К<±} получаются следующие уравнения движения:
('ж-г* +
-10 (>2. О - V 0„ Ь'Ша+а+,агаК21 а+а^))<^ =
= - а (0 <№*,. <aj±>=-6 «) л±- <VII-8>
Величины А± определяются этим равенством. Пользуясь правилами коммутации и формулами (VII. 2), легко получить следующие соотношения:
((ata?'a\'ak-1 а1ак))ш = бгр/с<±) (*1> Ч К> 0 -
-Т {(б^Л'±бЫ ^(+) (Л-1, Ч К Ч о + ^(_) (>>1. ^ Л3, Л4; <)}.
(VI 1.9)
Комбинируя это с уравнением (VII. 8) и выполняя в последнем преобразование Фурье, получим систему уравнений для функций К(+) и К(_):
О - 4 + О *(+' + v (к ч л+-
(VII.IO)
(? - < + < ) /С(“» + V (Л„ Х2) К(+) = - А_.
4 *
Здесь, как и в (VII. 7), Е^, суть точные одночастичные энергии (II. 16.6).
По определению (VII. 4) функция К(±)(^ 1Д2; t) отлична от нуля
лишь при Xi = |3, = а. Принимая это во внимание и вычисляя средние
значения антикоммутатора <4+ и коммутатора Л_, находим окончательно
К(-) (Р, а; Лз, Я,4; ?¦) =--------. VV--------------. (VII.11)
2я ?-?а + ?р+К(Р, а)
Полюсы этой функции соответствуют энергии возбуждения системы при «перебросе» одного электрона, т. е. энергии возбуждения пары «электрон в состоянии а и дырка в состоянии р». Видно, что эта энергия дается выражением (II. 16.8), чего, разумеется, и следовало ожидать.
VIII*. Диагонализация формы 62Qn
Вблизи круговой орбиты
? (т) = R {cos (2ят//) — 1, sin (2ят//), 0) (VIII.1)
запишем близкие к ней траектории г (т) в виде г (т) = ? (т) + 6г (т),
ОО
6г = ? (а„ cos + b„ sin ), (VIII.2)
0
00
прячем a0 = ~ art. С учетом сказанного в основном тексте (§ III. 4) об л-1
ПРИЛОЖЕНИЯ
359
инвариантности Qк и Q„ относительно поворотов траектории как целого, можно считать, что
ai = {R V2 c°s (ф + я/4) — R, 0, 0} = {а1х, 0, 0}, bi = {? V2" sin (ф + я/4) sin ф, R л/2 sin (ф + я/4) cos ф,
0}s (VIII.3)
= {bixi biy, 0}.
Очевидно, величины
Ро (т, т') = ? (т') — ? (т') =
= 2R sin
я (т - т') j sin я(т^О t cos n(T+_Tl _ oy (vmA)
t
p (t, t') = Po (T, t') + 6p (t, t') =
OO
/ /ч i V1 • яя (т — т') Г . rt/г (т +1') . .. Jt/t(t+t')1
= Ро (T, t') + 2^ sin ------—--------1 - 2a« sin------—- + 2 bn cos —----------------'I
/1=1
(VIII.5)
обладают свойствами периодичности:
Ро (т, т') = ро (т ± t, т') = ро (т, т' ± <). ,„П1
бр (т, т') =s бр (т ± т') = бр (т, Т' ± О-
Для функций Ф(т, т'), обладающих этим свойством, справедливо преобразование