Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, при q0, i ф 0 все эти слагаемые суть нечетные функции ш*). Для доказательства было существенно то обстоятельство, что числа ферми-оиных функций Грина, содержащих аргументы р+ и р_, были одинаковы. Именно по этой причине графики рис. 32, в надо рассматривать не по отдельности, а попарно.
Рис. 32.
Замечая, далее, что произведение двух функций Gc в (I. 9) есть четная функция со, видим, что при qo,; ф О
<4/ (о) = - °?} (- о). (I. 16)
Отсюда следует, что эта величина — чисто мнимая. Для преобразования слагаемого (1.8) удобно воспользоваться тождеством Уорда, выражающим про сто условие градиентной инвариантности теории. В наших обозначениях это тождество имеет вид (Е. С. Фрадкин, 1960) **)
¦"г." (i'+bг~т)~ /г‘г-п О111 с -1) -
+ (,Л7>
Здесь — векторная электромагнитная вершинная часть, а обратная функция Грина G~l (р) определяется равенством (1.4). Полагая к = 0, получаем
*) Исключение составляет случай qt = ..-. = qn = 0, р0 = F. В силу неизбежной [23] сингулярности Dc(q) при q -*¦ 0 соответствующий вклад в (I. 12) конечен, но вклад в Re а(2) оказывается исчезающе малым.
**) Равенство (I. 17) справедливо при любой температуре.
348
ПРИЛОЖЕНИЯ
iij (I. 17) и (I. 4)
г™ (p, f; P. f) -, + (p. p. - f) -
- M, (p, Po + -f-)].
В частности, при ш0 мы имеем
.. п(0) ( , ш в \ , дМс (р, рв)
¦™гГ(р.р. + Т’ р. р»-т)-‘—f8'
С другой стороны, при СО -*¦ оо
Г'0> (р, ро + р, Ро — -у) -> 1-
Дейтвительно, при |р0| ->®мы имеем, как известно,
Мс (Р, Ро) 3 0
I Ро I
Соотношение (I. 196) составляет содержание теоремы об асимптотическом расцеплении (В. Л. Бонч-Бруевич, 1965): вычисляя вещественную часть тензора электропроводности при достаточно большой частоте, можно заменить вершинную часть единицей в формуле (I. 1) *). Нас здесь, однако, будет интересовать случай со -*¦ 0.
С помощью соотношений (1.5) и (1.6) равенство (1.19а) можно переписать в виде
Jim Г<°> (р, р0 + р, р0 - = - 2(6 (Ро - F0) Im Gr (р, F„) + ..
(1.21)
где многоточием обозначена регулярная часть, не имеющая б-образных сингулярностей.
Выражение (1. 18) или, при со0, (1.21) надо подставить в правую часть (1.8). Выражение в фигурных скобках, фигурирующее в формуле (1.8), можно переписать в виде
_ „/т д Г Gc (р, р0 + со/2) 1
Gc (Р, Ро - ®/2Ц- |_ё^;р^щ\ • d- )
При со-э-0 выражение (1.22) оказывается отличным от нуля лишь в силу различия знаков мнимой части G(p, р0) при р0 > Fo и р0 < F0 (именно это обстоятельство и обеспечивает четность ст^ как функции со). Соответствующее предельное значение равно
°а (Р. Ро) ехР [21 аг§ °г (Р. Ро)]- (г. 22')
причем должно выполняться условие
р0 - <а/2 < F0 < Ро + <о/2. (I. 23)
*) Следует, однако, иметь в виду, что понятие «достаточно большая частота» каждый раз нуждается в специальном определении. Кроме того, следует убедиться, что, пользуясь соотношением (I. 196), можно сохранять для функций Gc в (1.1) их выражения, полученные с учетом взаимодействия.
(I. 18) (I. 19а)
(I. 196)
(I. 20)
ПРИЛОЖЕНИЯ
349
(Мы ограничиваемся для определенности случаем со > 0.) Очевидно, конечный вклад в правую часть (1.8) обеспечивается при этом лишь за счет сингулярной части в (1.21). То же относится и к (I. 14) при д0, г =0. Таким образом, в выражении для вещественной части &/(0) под знаком интеграла по р непременно присутствует множитель Im М,(р, F0).
Непосредственно применяя формулы (1.8) и (1.21) к случаю дискретного спектра, мы получаем неопределенность, так как функция Im Gr(p, F0) имеет б-образные особенности. По этой причине здесь удобнее вычислять тензор электропроводности при конечной (хотя и малой частоте, переходя затем к пределу ш -> 0. Это сделано в § IV. И; результат, как и следовало ожидать, оказался равным нулю.
С другой стороны, в случае непрерывного спектра правая часть (1.8) оказывается, вообще говоря, отличной от нуля, коль скоро
Im Gr (р, F0) Ф 0 (I. 24)
хотя бы при одном значении р. Действительно, в силу непрерывности функция Im G,(р, Fo) при этом отлична от нуля и в некоторой конечной области р-пространства, что и приводит к конечному значению статической электропроводности. В силу (I. 6.5") при этом отлична от нуля и плотность состояний па уровне Ферми p(F0). Наоборот, если p(F0) = 0, то в силу (1,6.156) условие (I. 24) не выполняется ни при каком значении р, и статическая электропроводность тождественно обращается в нуль. Тем самым первая теорема о корреляции доказана.
Подчеркнем, что речь идет здесь именно о корреляции между величинами Re ог(/(0) и p(Fo), но отнюдь не о непосредственном выражении одной из этих величин через другую: выражение, стоящее под знаком интеграла в формуле (1.8), гораздо сложнее, чем в (1.6.5'). Отметим также, что при использовании формул (I. 1) для фактического расчета электропроводности следует проявлять осторожность: учет только первого неисчезающего приближения для массового оператора может оказаться недостаточным ввиду сингулярного (в отсутствие взаимодействия) характера поправок к нему.
