Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ф1, v (^<) ~ ®/, /'(^<+г*)’ Pi’.b (kf) ~ Pi\ (2.25)
где
Ti = hK/e | 8 |.
Преобразуя интеграл по времени в формуле (2.23) с помощью этих соотношений и выполняя усреднение по структуре Штарка, находим (см. Приложение XV)
(жк), = (i?)’ 1<мш -01 х
4 I. V к
Г/2 t
1IZ I у
t* -Г/2 -Г/2 V
f t *' )
X exp | i ^ d0 [cor. /" (ke) + cos] -f i ^ d0[co;", v (ke) — сог] |
— p\% r (k,,) pl„t t (k,) exp у г ^ dQ [cor, r (ke) — coi] +
* 0
+ / J rf0 [cor, v (ke) + cos] | J
(2.26)
329
Рассмотрим выражение (2.26) для частного случая двухзонной изотропной параболической модели, полагая
(к) = со
hk2
«т 2mr
, (Og — Eg, opt/ft»
(2.27)
(2.28)
Будем при этом рассматривать внутризонное рассеяние электронами зоны проводимости. Последнее означает, что в формуле (2.26) следует положить I = I' = с, Г — V. Тогда в отсутствие внешнего электрического поля (S = 0) резонансным оказывается только второй из двух двойных интегралов, стоящих под знаком модуля в (2.26). Пренебрегая в дальнейшем нерезонансным первым слагаемым, мы получаем
=(ЛТС)П-ъ (t. с)] г. (2.29)
\ dQ dais /g \ т0с / h т0
где
f-
2л
~Т~
Т$/ 2
J
-Г*/2
t , t
\ IE \ dt' ехР 1 1 S dQ “со (ке) + м.] +
’т/2 -Г/2 0
V . 12
+ ^ dQ [озси (к0) — o)j] М . (2.
Г) J
30)
Легко убедиться, что интеграл f не зависит от параллельной полю компоненты k\\ вектора к. В частности, можно положить k\\ = 0. Тогда
юСо (ке) = (k±) + 0203,
«2 = ГМ21Т/3
L 2mrh J •
Положим в (2.30)
Получим
/ =
2я
тж
X = ¦
ег^
2
| (k±) -
“со (k±) ~ '
(2.31)
(2.32)
(2.33)
S S ds'exp[—i(ys+s?/3)+i(xs'+ s'3/3)~\
(2,30')
2
erg
2
330 ГЛ. VI. РЕЗОНАНСНОЕ КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА
Фигурирующий здесь двойной интеграл можно выразить через функции Эйри первого и второго роца-Ai(z) и Bi(z):
/ — I Ai М Ai (у) — i [0 (х — у) Ai (*) Bi {у) +
+ Q(y-x)Ai(y)Bi(x)] Р, (2.34) где 0(я— у) — ступенчатая функция.
В случае невырожденного электронного газа nf(k, с)<С 1 и характерное значение энергии h2k2/2mc — порядка Т, т. е. | Нк |~ л/2тсТ. Если (tnc/mr) Т «С Й0, то интеграл / слабо зависит от ki_ и его можно вынести за знак суммы по к в (2.29) при
k± — 0. Оставшаяся сумма ? пР (к, с)[\—пр (к, с)] ~ ? пР (к, с)
к к равна tiQ, где п — концентрация свободных электронов, a Q — объем образца. Таким образом, окончательно
ЫЙг),^). <^>
где
= (2-36)
Е(х А? (*) №(у) + В? (У)1 X > у,
К ,У) X А?Цу)[АЩх) + ВР(х)}, х<у, {Z'61)
и
, , 2 \р1'' s I2 2яhK
f‘r's = 1 I 1 , v = —гтгт-. (2.38
'ov m0h(i)g e I g I v >
6) Комбинационное рассеяние фононами. Обратимся теперь к рассмотрению комбинационного рассеяния света с участием
фононов. Соответствующий вклад в оператор А дается выра-
жением
ОО t
Siv**' Jл-х
— 00—00
X{[/o(0. /{(/')]_ +[Л(/), 4(01} (2.39)
или, с учетом (2.16),
§ 2*. ВЛИЯНИЕ ГЛАДКОГО ПОЛЯ ПРИ 1С < |0 331
Пользуясь теперь формулами (2.17) и замечая, что
(t) = ехр (iCDq/) Ьц , Ьц (t) — вХр (— iCOq/) 6q, (2.41)
можем переписать оператор взаимодействия электронов с фононами в виде
Яе, ph = V (k-/, q; /) ехр j j ^ dQ [Е (ke + q, /) — Е (ке, /)] | X
q к, / '•О '
X Як+q. ictk, I (exp (— i03q/) bq + exp (/©„/) ). (2.42)
Пользуясь соотношениями (2.15), (2.19) и (2.42), мы можем без труда вычислить двойные коммутаторы, фигурирующие в правой части (2.40). Для простой двухзонной модели, рассмотренной в п. а), мы получаем (ас, v(k) — Ес, v(k)/Н)