Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
V (х' - х") ¦<?/ (х') U (х")) = ? ? J Д 7 (х' - R,) I/ (х" - R.,) =
i_i 1 1-‘
•=]T^dRVa(x'-x"-R)Va(R). (IV. 1)
ПРИЛОЖЕНИЯ
355
Представляя K.-(R) в виде разложения Фурье:
Ka(R)= J dks*klVa(k), (IV.2)
получаем из (IV. 1)
У (*' _ х") = (2я)3 Y па ^ dk | Va (к) |2 eik (IV.3)
а
откуда и следует формула (II. 7.35). В частности, в случае (II. 7.31) находим
* 4
2яnte / г \
ЧГ{х'-х")= ¦ го ехр-------, (IV.4)
8 \ Го У
где г = | х' — х" |, а
nt = ZnaZl (IV.5)
а
есть эффективная концентрация примеси.
С другой стороны, в случае короткодействующих сил V7a (к) яг; V„ = const.
Тогда из формулы (IV. 3) получается выражение (II. 7.37в), причем
Ф0 = (2 *)*ZnaV% (IV.6)
а
V*. Характеристический функционал лоренцева случайного поля
Согласно (II. 7.8) и (II. 7.45) характеристический функционал лоренцева случайного поля дается выражением
A(zI)=N ^ 6С/ [l + ^ rfk U* (k) R~l (к) U (к)] ехр { - iz rfk ?/ (к) I (к) }. (V.1)
Удобно ввести вспомогательное интегрирование по вещественной переменной t, полагая
-1 00
[l + dk U* (к) R-1 (к) U (к)] = dte~^-\ (V.2)
о
где точками обозначено выражение, стоящее в квадратных скобках в левой части (V 2).
Подставляя (V. 2) в (V. 1), получаем
ОО
А (г/) = ^ е^А (zl, t) dt, (V.3)
О
где
A (zl, t) = N ехр j - / jj dk U* (к) (k) С/ (k) — ^ dk U (k) / (k) }.
(V.4)
Сравнивая (V. 1) с (II. 7.19), видим, что Л формально совпадает с характеристическим функционалом некоторого гауссова поля, фурье-образ корреляционной функции которого дается выражением
W_1 (k) =2tR~l (к). (V.5)
356
ПРИЛОЖЕНИЯ
Этот функционал правильно нормирован Действительно, если (в соответствии с (II. 7.13)) А(0, f) = 1, то, согласно (V. 3), и Л(0) = 1.
В силу (II. 7.20) и (V. 5) мы имеем
A (zl, /) = ехр { - -J jj 1 / (к) |2 R (к) dk} , (V.6)
и, следовательно,
оо
Л (2/) = J d/Mp{- (V.7) .
о
где величина р дается формулой (11.7.48). Интеграл, фигурирующий в правой части (V. 7), непосредственно связан с функцией Макдональда Ki(p). Действительно, при г > 0 справедливо интегральное представление
ОО
Ki {2г)=i Sdt ехр (~1 ~zVt)• (V-8)
о
Комбинируя равенства (V. 7) и (V. 8), получаем (II. 7.47).
VI*. Вычисление интеграла, фигурирующего в формуле (11.9.31)
Полагая vm <. 0, введем обозначение
I Ут I + а = р.
Тогда интеграл, фигурирующий в правой части (II. 9.31), становится равным ---/, где
ОО
sin (Is К\ (xs) ds. (VI.l)
о
Воспользуемся известным интегральным представлением для функции Макдональда
оо
ЛГ1 (xs) = ^ ch ie~* s ch 1 dt. (VI.2)
о
Подставляя (VI.2) в (VI. 1) и меняя порядок интегрирования no t и s, получаем
/
О " "" ' *' '¦ '
VII*. Функции Грина в задаче с гамильтонианом (II. 16.1') при 7 = 0
Как указывалось в § II. 16, в ряде задач, связанных с изучением поведения сильно локализованных электронов, можно исходить из упрощенного гамильтониана (II. 16.Г):
н = ? еАч + j Zv (х- atai'ah'a>.- wu)
яр
м2 ch2 t -4- I
2и -л/82 -4- к2
(VI.3)
ПРИЛОЖЕНИЯ
357
Здесь к — тот же набор квантовых чисел, что и в §§ 11.16 и 1.6, V(k,k') = У(Х'Д), а суммирование во втором слагаемом в правой части можно ограничить условием К Ф к.
Как и в § II. 16, разделим все уровни с квантовыми числами к на два класса — заполненные при Т = 0(^. = Р) и вакантные при Т = 0(А = а). Обозначив через Ф точную волновую функцию основного состояния системы (в пространстве чисел заполнения), мы имеем
