Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
где = со ± ге и
R = -|(x + x'). (3.18)
Теперь легко получить и интегральные представления для причинных функций, фигурирующих в формуле (3.10). При этом
*) Обобщение на случай одинакового искривления зон (случай А, § V. 2), когда необходим учет квантовых поправок, дается в конце этого параграфа.
340 гл. VI. РЕЗОНАНСНОЕ КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ CfiEtA
выражение для h (со,, со; q;С) можно упростить, заметив, что ква-зиклассическое случайное поле t/(R) медленно меняется на характерной длине j х — х21 ~ |х2 — Xi] ~ j Xi — х| ~ X, где К — длина волны де Бройля для электрона. Таким образом, с принятой степенью точности аргументы случайного поля в выражении (3.10) можно считать совпадающими. Вычисляя интегралы по разностям координат, мы получаем
Н(щ, со; q-C) = ^(Vc-Vv)±-\dRe^A(<*h со; R; С), (3.19)
где
А (со,, со; R; С) =
^ С dk 1 1
(2я) Йи(+ - Ecv (к) - Д (R) haf -ha- Есо (к) - Д (R)
(3.20)
Здесь через A(R) обозначена случайная часть ширины запрещенной зоны:
A(R) = ?/c(R)-i/e(R), (3.21)
?св(к) = ?с(к)-?в(к). (3.22)
При A(R) = 0 функция (3.20) сводится к амплитуде однофо-нонного резонансного комбинационного рассеяния в кристаллическом материале. Видно, что в данном случае случайную величину С следует отождествить со случайной частью ширины
запрещенной зоны (3.21):
С (R) = A (R), (3.23)
а функция pi(C) сводится к функции распределения флуктуаций ширины запрещенной зоны р\{Е)\
Pl(E) = (6(E-A(m- (3-24)
Так как координатная зависимость функции Л(со,-, со; R; С) обусловлена именно величиной A(R) , мы можем положить
А (со„ со; R; Д (R)) = А (со,-, со; A (R)). (3.25)
Заметим теперь, что усредненная с функцией pi(E) функция А (со/, со; Е) уже не зависит от координат. Таким образом, формулы (3.12) и (3.19) дают
h (со,-, со0; q) = -^уг (Vc ~ Vo) 6q, 0Л (со,, со0), (3.26)
где
А (сог, coo) =\dEpx (Е) А (со„ со0; Е). (3.27)
I 3*. ВЛИЯНИЕ ГЛАДКОГО ПОЛЯ В СЛУЧАЕ lc »
341
Символ Кронекера 6q, 0, появившийся в правой части (3.26) в результате усреднения и интегрирования по координатам в формуле (3.19), вырезает из входящей в сечение рассеяния (3.11) суммы по q член с q = 0. Иначе говоря, получается дискретная линия рассеянного света со* = со; — соо, где соо — частота оптического фонона с волновым вектором q = 0. В соответствии с этим мы положили со == соо во вторых аргументах функций Я и А в формулах (3.26) и (3.27)*). Зависимость интенсивности этой дискретной линии от частоты падающего света, описываемая функцией | Л (со,, со0) |2 в (3.11) и (3.26), видоизменяется случайным полем. В частности, в выражении (3.27) для | А(со;, соо) |2 содержится эффект ослабления резонанса за счет случайного поля, действующего на электроны. Для исследования этого эффекта удобно представить подынтегральное выражение в правой части (3.20) в виде разности двух простых дробей. Функция А (со,, соо; Е) при этом выражается через комплексные диэлектрические проницаемости е, отвечающие междузонным переходам при заданной ширине запрещенной зоны Eg-\-E:
А (со/, со0; Е) ~ [е (со,-, Eg + Е) — е (со? — co0, Eg + ?)]. (3.28)
Множитель пропорциональности в (3.28) содержит постоянные матричные элементы. Усреднение по флуктуациям ширины запрещенной зоны в (3.27) сводится теперь к усреднению комплексной диэлектрической проницаемости е(со,-, Eg-\-E). Соответствующий результат (для случая гауссовой статистики случайного поля) был получен в § V. 2. Подставляя его в правую часть (3.28) и вычисляя квадрат модуля, можно построить зависимость интенсивности дискретной линии от частоты со/. Поскольку в усредненной диэлектрической проницаемости особенности Ван Хова сглажены, дисперсионная кривая также оказывается сглаженной по сравнению с кристаллическим случаем. Пользуясь интегральным представлением усредненной диэлектрической проницаемости, выведенным в § V. 2, легко получить и интегральное представление для функции А(со,-, соо):
К (со,-, со0) =
оо
=QBe 4 f —щ- sin (sftco0/2) exp [ish (со,- — cog — co0/2) — s2A2/2]. (3.29)
S ~
0
Здесь h(og==Eg, Д2 — среднеквадратичная флуктуация ширины запрещенной зоны, а в константу В включены постоянные ма-
*) Наряду с этой дискретной линией при данной постановке задачи получается еще спектр, интенсивность которого в (%,o/lc)s раз меньше, чем у дискретной линии (Б. Эссер, 1978). Этот спектр отвечает- слагаемому, отброшенному при выводе (1.18).
