Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
г
где 6к к/ — символ Кронекера. Соответственно
Ч'(х, x')=--±-?c(l-c)|t/(k) f
|2 еi (k, х-х')
(11.14)
k
ПРИЛОЖЕНИЯ
353
заметно превышают постоянную решетки. При этом явный вид корреляционной функции на малых расстояниях не играет роли, и мы вправе положить *)
? (х, *') = Ч'ойос (1 - с) б (х - *')• (И-15)
Здесь Ч^о — постоянная размерности квадрата энергии (и порядка квадрата потенциала деформации), Q0 — объем недеформированной элементарной ячейки.
Полагая
ф-0?30с (1 — с) = Ф0, (11.16)
получаем формулу (II. 7.37в).
Очевидно, в случае (11.15) нельзя определять средний квадрат флуктуации потенциальной энергии t|5b полагая там х' = х: при пользовании 6-функцией всегда подразумевается, что она стоит под знаком интеграла. Иначе говоря, величина tjji в данном случае определяется соотношением
(r)rfr = 4V(l-C) = -j2-. (II. 15')
Обратимся теперь к кристаллам со сложными решетками (г > 1). Здесь также справедливы формулы вида (II. 5) и (II. 6) (с очевидным включением индексов I). Отличие от предыдущего случая состоит, однако, в том, что теперь суммирование по а охватывает как акустические, так и оптические ветви нормальных колебаний. Соответственно для потенциальной энергии носителя заряда мы получим сумму двух слагаемых:
и (е) = иас (г) + tfopt (»)>
отвечающих, соответственно, акустическим и оптическим вкладам в вектор смещения: иас и <>(. Для иас остаются в силе все предыдущие рассуждения до формулы (II. 10) включительно. С другой стороны, длинноволновую часть UoPt следует писать в виде
tV (*) == (П. 17)
Здесь Е — постоянный вектор, определяемый по структуре решетки. Легко убедиться, что при этом к «акустическому» слагаемому (II. 10) добавляется еще выражение
C/opt(k) = ^a. (П-17')
где т) — вектор, не зависящий от величины к при малых | к |. Таким образом, вместо (II. 14) мы получим
V (х, х') = ? —о" + A ei <k’ (П-18)
/ к
Как и при r= 1, при |х — х'|->-0 правая часть (11.18) оказалась бы сингулярной: при суммировании по всем значениям компонент к мы получили
*) Строго говоря, выражение (11.15) справедливо лишь в приближении изотропного континуума, когда компоненты тензора r)ap равно как и сама
функция t/(k), не зависят от к. В противном случае правая часть (11.15) вместо 6(х — х') содержала бы функцию более сложного вида (но также с острым пиком при |х — х' |->0). В ряде задач, однако это обстоятельство
несущественно.
354
ПРИЛОЖЕНИЯ
бы сумму 6-функции от х — х' и ее производных. Соответственно вместо (II. 15) можно было бы положить
V* /1 \ Г us. t '\ I и д26 (х-х') дъЬ (х - х') ¦)
’F (х,х )= > Ci (1 — С/) J b6 (х — х ) + Ь„а —г-г-- + b „ ——^-г—- I,
7 Z-r ‘ ( “Р дхадх^ a(3v d*a дJ
(II. 19)
где 6, ^ару — постоянные коэффициенты.
Неясно, однако, оправдано ли такое усложнение по сравнению с (11.15).
III*. Характеристический функционал гауссова случайного поля
Перепишем формулу (II. 7.8) в виде
Л (г/) = </ехр | — iz ? «к/ (к) (III. 1)
где
“к =(1П-2>
По определению среднего значения (математического ожидания) символ (...) имеет следующий смысл:
СО
(••¦)= J Цли'кёи"Р[... ик ...](...), (III. 3)
— оо к
где точками обозначено усредняемое выражение, а вещественные величины «к» «к определяются равенствами
Г | . гг г г tr ft .... . .
“к = “к + шк> мк = “-к. “к=-“-к- (Ш-4)
Подставляя выражения (11.7.12) и (III. 1) в правую часть (III. 3), получаем там произведение гауссовых интегралов, что и приводит к формуле (П. 7.20). Заметим, что выражение (III. 3) можно переписать и в формально более компактном виде, не предполагающем непременного разложения по полной ортогональной системе функций, образующих счетное множество Именно:
(...) = J W9 [U] (...), (III. 5)
причем
' bU & [t/] = 1. (III. 6)
Здесь символ
S
^ бU ... обозначает континуальный интеграл.
IV*. Непосредственный расчет бинарной корреляционной функции пуассоновского случайного поля
На основанни равенств (11.7.15), (II. 7.23) и (II. 7.25) мы имеем
N N N
