Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
¦ + + (,х.4)
362
ПРИЛОЖЕНИЯ
Используя выражение (IX. 3), видим, что функция x(z) непрерывного комплексного аргумента г,
«w -1 ~ тчггм [?'"(' + 4г) + (//+ кч ]•
(IX.5)
обращается в нуль при г = 1. В области Re г ^ 2 имеем 0 < | х I < 1, и, следовательно, в этой области функция
f (z) = In х (г) (IX.6)
регулярна.
Очевидно также, что ряд (IX. 2) сходится, так что допустимо использовать следующую модификацию формулы суммирования Эйлера — Маклорена:
ос оо по
? /(„)=! /(2)+ J nz)dz- 2 J tV + ‘y)-!G-‘y) (IX.7)
п-2 2 о
Сумму (IX. 2) для К(х) с функцией f, заданной равенствами (IX. 5), (IX.6), вычислим, отбрасывая слагаемые, убывающие при | х | оо или постоянные. При этом для первого и последнего членов в правой части (IX. 7) можно использовать разложение /(г) при | г | <С | и |:
2 — ])
/ (г) ~ In . (IX.8)
Так, с указанной точностью
Vaf (2) » - In и, (IX.9)
а последнее слагаемое можно вообще отбросить. Далее, во втором слагаемом
в правой части (IX. 7) можно, пользуясь формулой (IX. 4), перейти к инте-
грированию по переменной и = 2z/x:
ОО ОО
у= nz)dz* dBlnf,_J!LlL+«2_—
J 2 J L и2 v? и2 X2(l + « )J
2 Ahl (IX.10)
Два последних слагаемых в квадратных скобках в (IX. 10) влияют лишь на постоянное слагаемое в ] при | х | оо. Отбрасывая их, получаем
4/Х
,xjl\ Лщ[,ах.,,)
Подынтегральное выражение в первом слагаемом в (IX. 11) изменяется от In (ц2/2) при малых и до — (2In и)/и2 при и 1. Для грубой оценки его достаточно положить
ОО 1 ОО
— 2v = ^ du In [I — и~2 In (1 + и2)] « ^ du In (и2/2) — 2 ^ du и~2 In и —
О О 1
= -(4 + In 2). (IX.12)
Очевидно, v есть положительная постоянная, близкая к двум.
Итак, с принятой степенью точности получаем
j ~ 4 In ц. (IX.13)
ПРИЛОЖЕНИЯ
363
С уметом (IX. 9) имеем
К (х) = — vx -+- 3 In х -+- const, (IX.14)
т. е.
а
Из вывода ясно, что этот результат справедлив в области, где exp(vx) растет быстрее х4, т. е., например, при 1т х = 0, х > 4/v. Появление этого растущего с | х | множителя есть следствие эффективного сильного вырождения длинных оптимальных петель.
Обратимся теперь к величине Пц (х). Удобно преДстчвить ее в виде, аналогичном (IX. I):
ОО
П,| (X) = П [(' - I (" - ')) 0 - Е (я + П) - V (Я)]"1, (IX. 16)
П = 2
где
f./^ bn{x) — bn(x) ь (и) + (х) — (к) — Ьх (к) /TVi,л
ё (л) в---2^6Гм ’ С ( } “ 2 (/Г» -1) Мх) ’ (1ХЛ7)
Ьп (х) = - X А. Ьп (х). (IX. 18)
Подобно (IX. 2) и (IX. 7), положим
П i М — ехр [— L (х)], (IX.19)
гг’..
L (х) = ? Ф (п) =1 Ф (2) + J Ф (г) dz + i J фСИ-М-ФР-Ц,,. (1Х.20)
л = 2 2 О
ф (я) = In [(1 _ 6 (я _ 1)) (1 _ 6 (Я + 1)) - ?2 (л)]^1п W (п, X). (IX.21)
На основании (IX. 3) и (IX. 18) при больших | х | имеем
^<»>«ттр- + 13-ттз-(,+нЬ?)’ (,х-22>
где по-прежнему и = 2п/х. Выпишем различные разложения по х-1 для интересующих нас величин. При малых п(<^ \ х |) имеем
t , ч 2/г2 (t 2/г2 — 1 ^ г / ч 4я2 (, 4я2 — 2 ^
И2 V х2 )’ Ь*М— *2 )>
, ч г , ч 2я2 Г, 3 (2гг2 — Щ
Ьп (х) - (к) = - —г- [ 1--------------------^-J,
. , X I г , ч 2/г2 Г 5 (2/г2 - 1) 1
Ьп (и) + (к) = [3---------------------------^-LJ,
М*) + Ь, М=-^(3-А);
„ , % 3 Зл2 — 2 „ , ч 3 5/г2 + 2
^(я) = --------^—, ?(я)=^--------^т—; (1Х-24)
w (п, х) = 6/г2/х2. (IX.25)
(IX.23)
364
ПРИЛОЖЕНИЯ
Далее, фиксируя, как и в случае (IX. 4), параметр и = 2я/х и пренебрегая величинами порядка х-2, имеем
