Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
t t Л 2л
^ dx' Ф(т, т')=-^2- ^ ^ (-^(X + Y). 2^(Y-X)), (VIII.7)
0 0 0 0 где
Х = я(т —т ')/*, у = 11 (т + т')/<- (VIII.8)
Воспользуемся этим при анализе величины AQ„ (см. (III. 7.22)). Точнее, будем рассматривать несколько более общее выражение, отвечающее корреляционной функции
? (г) = ф,/ (ar). (VIII.9)
Используя ее, мы имеем вместо (III. 7.22) л 2л
о о
+ Ш-г (т) -МНМ!,. („,а) + „ «Ей!! г ). (Vin.10)
Р 0 Ро Ро }
Производные здесь берутся по всему аргументу:
df (г)
Г (аро) =
dz
, (VIII.11)
z—apo
При этом величины f' и f" не зависят от угла у, поскольку
I Ро (т, т') | = р0 (т - т') = 2R | sin х I- (VIII.12)
360 ПРИЛОЖЕНИЯ
Поэтому в (VIII. 10) можно проинтегрировать по у. Введем обозначение
2л
(ф (V, %))у = \ dy Ф (V, X). (VIII.13)
Легко получить выражение для
/ (Sppo) \
/ (Дрро) \ .
\ Ро /v'
\—-—) = («и + biy) sin %. (VIII.14)
\ Ра г у
Далее,
ОО
<(6P)2)V = 2 ? (a2+b2„)sin2rt%. (VIII.15)
rt-1
Наконец,
/ (5рр0)_\ _ J_ ^ + s;n 2 х + J. _|_ ^2 _|_ ( _ Ьгх)2} sin2 2^ +
\ Ро /у 2 2
ОО
+ Т ? — а"^2 sin2 + 2 ~ (6"+2- у + a«+2- *) X
П= I
X Sin sin (re + 2) X + (bn+ 2, у + а„+2, л:)2 sin2 (и + 2) х] +
ОО
+ j ? {(any — ьпх)2 sin2 п% + 2 (апу + 6„х) (а„+2, у — Ьп+2< х) X
п-1
X sin п% sin (и + 2) х + (ап+2, у — 6„+2, *)2 sin2 (п + 2) %]. (VIII.16)
Очевидно, для диагонализации 62Q более удобны фигурирующие в (VIII. 16) комбинации переменных
аПХ Ьпу, Ял + 2, X “Ь Ьп+2, у> (*пу Ч" Ьпх, С1п+ 2, у ^« + 2, X’
Выразим через них и ((,6р)2) Y. Для этого учтем, что “L + а1у + &пх + *»»¦“ 4 [(“пл: — bnyf + (апх + bnyf +
+ (а/г</ + Ьпх)г + (<Хпу------Ьпх)2]- (VIII.17)
Отсюда найдем
<(M2>y = 2 ? (<4 + biz) s!n2 п% +
n~2
+ [(«!JC + bXyY + (aly — й,*)2] sin2 X + \(aix + b2y)2 + (a2y — bixY] sin2 2% +
OO
+ 2 КЯпх ~ Ьп-у}2 sir)2 пЪ + (“«+2, * + 6«+2, у)2 sir)2 (« + 2) ocl +
OO
+ Z + bnx')2 sin2 nt + (an+2, у — *n+2, x)2 sin2 (я + 2) X]. (VIII.18)
n-1
ПРИЛОЖЕНИЯ
361
Теперь вернемся к выражению (VIII. 10). Часть его, связанная со второй вариацией 62Qn, имеет вид
^ J * ^ <- Г { «еР«, + [, - ] <&f)? }.
(VIII.19)
Поскольку ро зависит лишь от | sin х |, интеграл по % здесь можно брать в пределах от нуля до я/2, введя еще множитель 2. Определим величины
п/2
Ьп (X) = 2 J dx -J'l* °ш %) ¦ sin2 пЪ (VIII.20)
о
я/2
5л(х)=2 ^ dx!" (х sin %) sin2/г/. (VIII.21)
о
Очевидно, при f(z)=e~z эти определения переходят в приведенные в основном тексте (формулы (III. 7.30) и (III. 7.31)). Возвращаясь от переменных Oix, Ьи и biy к переменным R, \|) и <р, а затем переходя к переменным (III. 7.25) — (III. 7.28), получим (в случае экспоненциальной функции /) выражение (III. 7.29).
IX*. Вычисление величин (х) и Пц (и)
Представим величину (к) в следующем виде:
Пх (х) = П [l - = еХр * (Х)1’ (1ХЛ)
п-2
где
(IX.2)
п» 2
Для экспоненциальной корреляционной функции при | к | > 1 мы имеем
^м-1|-(|+^1)+н,|4у;к1), (ад
t . . 2п? (. 2/г2 — 1 \ . ,
ьп W » ------—) ПРИ
Ьп (и) ~ In при п> | х |.
Удобно также использовать приближенное выражение для Ь„(х), которое получается, если фиксировать аргумент и = 2/г/х и выполнить разложение по 1/и2;
