Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
4.9.3. Класс (Q) трехмерных многообразий, склеенных из блоков двух типов
Рассмотрим два достаточно простых трехмерных многообразия с краем: А3 и В3. Они описываются следующим образом.
Многообразие А3. Оно диффеоморфно прямому произведению 2-диска на окружность, т.е. А3 = D2 х S1 (рис. 4.17). Край многообразия диффеоморфен
2-тору Т2.
Многообразие В3. Оно диффеоморфно прямому произведению диска N2 с двумя дырками на окружность, т.е. В3 = N2 х S1. Его край состоит из трех торов (рис. 4.17).
Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем
213
Определение 4.9. Обозначим через (Q) класс всех ориентируемых замкнутых компактных 3-многообразий, представимых в виде
где а и b — целые неотрицательные числа, знак + обозначает склейку многообразий по диффеоморфизмам граничных торов.
Другими словами, Q3 получается как результат склейки а экземпляров многообразия А3 с b экземплярами многообразия В3 по некоторым отождествлениям их граничных торов (так, чтобы в результате получилось многообразие без границы).
Рис. 4.17
Ясно, что числа а и & не могут быть произвольными, между ними должно быть простое соотношение:
Дело в том, что общее число граничных торов должно быть четным. Это условие необходимо и достаточно, чтобы получилось замкнутое 3-многообразие (т.е. без края).
4.9.4. Класс (W) многообразий Вальдхаузена (граф-многообразий)
Определение 4.10. Обозначим через (W) класс всех ориентируемых компактных замкнутых 3-многообразий W таких, что:
а) W содержит некоторое конечное множество непересекающихся 2-торов,
б) после выбрасывания этих торов из W получается открытое 3-многообразие, каждая связная компонента которого является расслоением Зейферта со слоем окружность над некоторым двумерным многообразием (возможно с границей и не обязательно ориентируемым).
Этот класс многообразий был введен в трехмерную топологию Ф. Вальдха-узеном [386]. Они были названы Graphenmannigfaltigkeiten и появились в работах Вальдхаузена (и его последователей) из внутренних глубоких задач трехмерной
Q3 - а А3 + ЬВ3,
а + ЗЬ = четное число.
214
Глава ^
топологии, вне всякой связи с гамильтоновой механикой и симплектической геометрией. Мы будем иногда называть многообразия этого класса граф-многооб-разиями. Вальдхаузен классифицировал все такие многообразия, и эта классификация оказалась тесно связанной с классификацией интегрируемых систем. Можно сказать, что этот класс (W) родился заново.
4.9.5. Класс (Н') многообразий, отвечающих
интегрируемым гамильтонианам с ручными интегралами
Хотя почти на всех уровнях энергии Q3 = {Н = const} в подавляющем большинстве исследованных сегодня физических систем интеграл является бот-товским, тем не менее при некоторых специальных значениях энергии (заполняющих обычно множество меры нуль) интеграл / оказывается не боттовским. У него могут появиться особенности, более сложные чем те, которые предусмотрены определением боттовости. Естественно поставить вопрос: насколько устойчива классификация изоэнергетических 3-поверхностей интегрируемых систем относительно расширения класса рассматриваемых интегралов? Более точно: как устроен класс изоэнергетических 3-поверхностей для гамильтонианов Н, допускающих дополнительный, но не обязательно боттовский интеграл? Конечно, нас должны интересовать в первую очередь гамильтонианы, интегралы которых хотя и не боттовские, но не слишком патологические, т.е. все-таки устроены не слишком сложно. Тем самым мы, конечно, расширяем класс изучаемых гамильтонианов. Обращаясь опять-таки к опыту исследования физических систем, мы обнаружили, что наиболее естественным является класс гамильтонианов Н, допускающих ручные интегралы.
Определение 4.11. Гладкий интеграл / мы будем называть ручным (на данном изоэнергетическом 3-многообразии Q3), если для любого критического значения с функции / соответствующая поверхность уровня /-1(с) является ручной. Это означает, что существует гомеоморфизм всего многообразия Q на себя, который переводит множество /-1(с) в полиэдр.
Замечание. Говоря здесь о полиэдре, мы имеем в виду симплициальный подкомплекс в многообразии Q, каждый симплекс которого гладко вложен в Q.
Таким образом, хотя ручной интеграл может быть не боттовским, однако он все еще не слишком ужасен: его поверхности уровня фактически являются полиэдрами в Q.
Определение 4.12. Обозначим через (Н') класс всех трехмерных ориентируемых компактных замкнутых многообразий, являющихся изоэнергетическими
3-поверхностями гамильтоновых систем, интегрируемых при помощи ручных интегралов.
Ясно, что любой боттовский интеграл является ручным (обратное неверно). Поэтому мы имеем тривиальное включение: класс (Н) содержится в классе (Н'). Таким образом, расширяя класс интегрируемых гамильтонианов, мы
Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем
215
априори можем расширить и класс изоэнергетических многообразий интегрируемых систем. Происходит ли это на самом деле?
