Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство.
Поскольку атом V по предположению не содержит звездочек, то отвечающее ему 3-многообразие является прямым произведением V = = Р2 х S1. Граница этого многообразия состоит из некоторого числа 2-торов. Так как все ребра, исходящие из атома V, заканчиваются атомами А, то каждый из этих граничных торов должен быть заклеен полноторием. Все r-метки на этих ребрах равны бесконечности. Это означает, что каждое полноторие приклеивается следующим образом. Рассмотрим произвольный граничный тор Т2 с dV. На нем имеется структура тривиального 51-расслоения. В результате склейки слой этого расслоения отождествляется с исчезающим циклом приклеиваемого полнотория. Другими словами, каждый слой, лежащий на границе dV, сжимается в точку. Следовательно, 3-многообразие Q можно представить так. Умножим Р2 на окружность и на границе получившегося 3-многообразия стянем каждую окруж-
Рис. 4.15
Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем
207
ность S1 х {ж} в точку, ж 6 дР2. Поскольку Р2 — это узкая ленточка, то мы можем разрезать ее поперек всех ребер (рис. 4.15). Каждый такой разрез на ленточке порождает разрез в Q по двумерной сфере. Восстановление разреза эквивалентно взятию связной суммы с 3-многообразием S1 х S'2. Следовательно, 3-многообразие Q можно разрезать по нескольким 2-сферам так, что в результате получится трехмерная сфера, из которой выброшено 2(k + 1) трехмерных непересекающихся шаров. В самом деле, после разрезания Р2 по дугам, разрезающим ленточки, получится 2-диск, показанный на рис. 4.15, из которого удалено к + 1 полудисков. Умножая 2-диск на окружность и стягивая в точку каждую окружность, оказавшуюся над его границей, мы получаем 3-сферу. Выбрасывая граничные полудиски из 2-диска, мы тем самым выбрасываем из 3-сферы трехмерные шары. Следовательно, искомое многообразие Q? получается из 3-сферы с выброшенными 2(к + 1) шарами путем попарного склеивания возникших граничных 2-сфер. Каждое такое отождествление, очевидно, эквивалентно взятию связной суммы с 3-многообразием S'1 х S2.
Предложение доказано. ¦
4.8. Гамильтоновы системы с критическими бутылками Клейна
В основном в приложениях встречаются интегрируемые системы, у которых на изоэнергетических 3-поверхностях нет критических торов и бутылок Клейна. Тем не менее, например, в теории интегрируемых геодезических потоков критические торы и бутылки Клейна встречаются. На критические торы мы внимания обращать не будем, поскольку (см. об этом выше) они не меняют топологию слоения Лиувилля. А критические бутылки Клейна заслуживают отдельного рассмотрения, поскольку в их окрестности топология слоения действительно меняется нетривиальным образом. Этот вопрос был изучен П. Топаловым в [197].
Пусть К — критическая бутылка Клейна. Тогда близкие к ней торы Лиувилля при стягивании на нее двулистно накрывают бутылку Клейна. Окрестность U(К) бутылки Клейна К в 3-многообразии Q можно рассматривать как
3-атом специального вида. Этот атом мы будем изображать буквой К с ровно одним инцидентным с ним ребром. Единственность такого 3-атома вытекает из того, что существует лишь одно двулистное накрытие тором бутылки Клейна.
Отметим, что граница 3-окрестности U(K) состоит ровно из одного тора Лиувилля Г2. Поскольку 3-атом U(K) нам задан (и фиксирован), то возникает однозначно определенная проекция-накрытие 7г: Т2 —> К. Это накрытие появляется при стягивании границы окрестности U(K) на бутылку Клейна К (вдоль отрезков, нормальных к К в U(K)). Подчеркнем, что здесь мы пользуемся тем, что события происходят внутри уже заданной 3-окрестности U(K).
Выберем на граничном торе Т2 допустимую систему координат. Для этого сначала опишем важное свойство гамильтонова потока на бутылке Клейна.
Предложение 4.6. Все интегральные траектории интегрируемого при помощи боттовского интеграла гамильтонова потока на критической бутылке Клейна
208
Глава
замкнуты. Тем самым, они определяют на граничном торе Т2 цикл, однозначно определенный с точностью до изотопии и являющийся поднятием замкнутой интегральной траектории с бутылки Клейна.
Доказательство.
Поскольку бутылка Клейна К лежит внутри 3-атома U(K), то можно рассмотреть двулистное накрытие над U(K), которое развернет бутылку Клейна К в тор Т2. При этом U(К) накрывается ориентируемым 3-многообразием U(T2). Возьмем тор Т2 и рассмотрим на нем инволюцию ?, отвечающую данному накрытию Т2 —> К. Введем на плоскости Ж2, накрывающей тор Т2, стандартные координаты (х,у), связанные с решеткой тора. Без ограничения общности можно считать, что инволюция относительно этих координат задается формулой
Интегральные траектории с бутылки Клейна поднимаются на тор Т2 и превращаются в интегральные траектории системы, накрывающей исходную. Этот тор Т2 (см. выше) можно считать регулярным тором Лиувилля в U(T2). Следовательно, интегральные траектории накрывающего гамильтонова потока должны задавать на нем прямолинейную обмотку. Мы утверждаем, что она не может быть иррациональной, то есть все интегральные траектории замкнуты на торе. И более того, все эти замкнутые интегральные траектории накрывающего потока определены однозначно, с точностью до изотопии. В самом деле, накрывающее гамильтоново векторное поле v на торе Т2 должно быть инвариантно относительно инволюции ?. Рассмотрим интегральную траекторию 7(?) = (x(t), y(t)) поля v на накрывающей плоскости Ж2. Для гамильтонова векторного поля на торе определена пара чисел (wi, W2), называемых частотами (на данном торе). Эти числа могут быть определены по формулам:
