Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
При этом они не зависят от выбора конкретной траектории на данном торе. Под действием инволюции ? траектория 7(?) переходит снова в некоторую интегральную траекторию того же поля v. Эта новая траектория задается формулами:
то есть и)2 = 0. В силу гамильтоновости системы из того, что частота о;2 равна нулю, следует, что все траектории векторного поля v замкнуты на торе и изотопны его первому базисному циклу. Осталось заметить, что поскольку на накрывающем торе Т2 все интегральные траектории поднятого поля замкнуты,
(х, у)->(х + -у).
Ы*) = И*) + -уШ-
Отсюда
= — lim —— = — ш2,
v(t)
Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем
209
то и на бутылке Клейна все интегральные траектории поля v тоже замкнуты. Предложение доказано. ¦
Отметим, хотя этот факт и не потребуется нам, что справедливо следующее полезное утверждение.
Предложение 4.7. Пусть v — произвольное гладкое векторное поле без особых точек на бутылке Клейна. Тогда у него обязательно есть по крайней мере две замкнутые интегральные траектории.
Итак, на граничном торе Т2 3-атома U(K) мы обнаружили однозначно определенный с точностью до изотопии цикл Л, изотопный замкнутым интегральным траекториям потока на бутылке Клейна. Отметим, что Л является слоем расслоения Зейферта, определенного на U(K). Базой этого расслоения является двумерный диск с двумя особыми точками типа (2,1). Каждой из них отвечает слой типа (2,1) расслоения Зейферта.
Кроме указанного расслоения Зейферта, на U(K) имеется еще одна структура 5'1-расслоения. Здесь базой расслоения Зейферта будет лист Мебиуса, а слоем — окружность. Причем, это второе расслоение локально тривиально, то есть не имеет особых слоев.
Опишем структуру этих расслоений подробнее. Окрестность U(K) критической бутылки Клейна можно представить следующим образом. Рассмотрим двумерное кольцо Р. Удобно задать его на комплексной плоскости в виде (У2 < \z\ < 2}. Рассмотрим теперь цилиндр Р х [0, 7г] и отождествим его основания по инволюции т: Р —У Р, задаваемой формулой z —У z_1. В результате мы получим в точности окрестность U(К). Сама бутылка Клейна получается склейкой оснований двумерного цилиндра {|z| — 1} х S1.
Расслоение цилиндра Р х [0, тг] на отрезки {ж} х [0, тг] после склейки оснований порождает расслоение U(K) на окружности. Особые слои этого расслоения отвечают двум неподвижным точкам инволюции т, а именно, z — 1 и z — —1. Базой расслоения будет фактор-пространство Р = Р/т, которое, очевидно, го-меоморфно диску.
Второе расслоение может быть описано следующим образом. Заметим, что цилиндр Р х [0, 7г] можно представить в виде прямого произведения еще одним способом, а именно, S1 х (7 х [0, 7г]). Этот цилиндр, таким образом, имеет естественную структуру 5'1-расслоения, которая сохраняется и после склейки. База этого расслоения получается из прямоугольника 7 х [0, тт] склейкой его оснований 7 х {0} и 7 х {7г}, результатом которой является, как нетрудно увидеть, лист Мебиуса.
Оказывается, структуры этих двух расслоений Зейферта на U(K) определены однозначно, с точностью до послойной изотопии. Дело в том, что на двулистном накрытии U(T2) 3-атома U(K) задана инволюция ?. Оба расслоения Зейферта, поднятые с U(К) на U(T2), должны быть инвариантны относительно инволюции ?. Кроме двух описанных, других инвариантных расслоений нет. В самом деле, действие инволюции ? на группе одномерных гомологий U(T2) задается матрицей
+1 0
0 -1
210
Глава ^
Следовательно, среди всех циклов только две образующие группы гомологий остаются на месте (с точностью до умножения на ±1) под действием инволюции Они и порождают две указанные выше структуры расслоения Зейферта на фактор-пространстве U(K) = С/(Т2)/?.
Теперь в качестве второго базисного цикла допустимой системы координат на граничном торе Т2 3-атома U(K) мы возьмем цикл Ц, задающий структуру второго расслоения Зейферта U(K) —> (лист Мебиуса). Мы построили допустимую систему координат (A, fi) на граничном торе. Отметим, что ориентация цикла А уже задана гамильтоновым потоком v. Ориентацию на Ц выберем так, чтобы пара циклов (A, fi) была положительно ориентирована на торе Т2 как на граничном торе ориентированного многообразия U(K).
Определим теперь на ребре, исходящем из атома К, числовую r-метку и метку ? по аналогии с тем, как мы это делали в случае обычных атомов. Для этого мы рассмотрим сначала матрицу склейки С = ( ^ f ) на данном ребре, а затем дословно повторим прежние определения.
Числовой рациональной меткой г на ребре е молекулы W, инцидентном с атомом К, отвечающим бутылке Клейна, называется:
Осталось определить метку п. Но она определяется здесь точно так же, как и в остальных, уже перечисленных случаях. В частности, если ребро бесконечно, то есть г = оо, то атом К включается в семью, с которой инцидентен второй конец ребра, исходящего из К. Если же r-метка на ребре конечна, то сам атом К является семьей. После того как допустимая система координат фиксирована, все определения числовых меток будут точно такими же как и раньше.
