Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Следует выделить особый случай, когда молекула W имеет вид К-----К. В
этой ситуации две допустимые системы координат, отвечающие этим атомам К, однозначно определены. Поэтому в качестве метки, которую нужно приписать единственному ребру молекулы, следует рассмотреть саму матрицу склейки. Никаких других меток тут нет.
Таким образом, снабжая молекулу W набором перечисленных выше числовых меток, мы получаем как и раньше меченую молекулу W*, для которой остаются справедливыми теоремы 4.1 и 4.2, сформулированные выше.
Тем самым, гамильтоновы системы с критическими бутылками Клейна естественно включаются в общую теорию без каких-либо существенных отличий.
Однако следует уточнить, что понимается здесь под лиувиллевой эквивалентностью систем, у которых присутствуют бутылки Клейна. Две такие системы v и v' считаются лиувиллево эквивалентными, если существует послойный
mod 1 G Q/Z, если fli ф О,
*вол оо, если fli = 0.
Числовой целочисленной меткой ? на этом ребре называется:
? =
sign fa, если pi ф О,
signer, если /% = 0.
Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем
211
диффеоморфизм между изоэнергетическими 3-многообразиями Q и Q', удовлетворяющий всем прежним условиям. Но кроме того, мы дополнительно требуем, чтобы замкнутые интегральные траектории поля v на критических бутылках Клейна в Q переходили с сохранением ориентации в замкнутые интегральные траектории поля г/ на соответствующих критических бутылках Клейна в Q'.
4.9. Топологические препятствия к интегрируемости гамильтоновых систем с двумя степенями свободы
Мы описали топологию изоэнергетических 3-поверхностей интегрируемых гамильтоновых систем. Грубо говоря, все такие 3-многообразия получаются произвольными склейками 3-атомов (по их граничным торам). Какие же 3-многообразия в результате получатся? Или, другими словами, — каковы топологические препятствия к интегрируемости гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Теперь мы можем ответить на этот вопрос. Оказывается, далеко не каждое трехмерное многообразие может служить изоэнергетической 3-поверхностью интегрируемой системы. Таких многообразий немного, и топологию их можно описать. Оказалось, что класс таких 3-многообразий совпадает с хорошо известным в трехмерной топологии классом граф-многообразий, введенных Вальдхау-зеном. Таким образом, если нам дана гамильтонова система, изоэнергетическая
3-поверхность которой не является граф-многообразием, то эта система заведомо неинтегрируема в классе боттовских интегралов (по крайней мере на этой
3-поверхности).
4.9.1. Класс (М)
Обозначим через (М) класс (множество) всех гладких связных ориентируемых компактных 3-многообразий. Оказывается, нет никаких топологических препятствий к тому, чтобы многообразие из класса (М) было изоэнергетической
3-поверхностью подходящей гамильтоновой системы (но не обязательно интегрируемой).
Предложение 4.8 (С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко).
а) Если X3 — произвольное многообразие из класса (М), то прямое произведение М4 = X3 х D1 (где D1 — отрезок) всегда является симплектическим
4-многообразием.
б) Многообразие X3 является изоэнергетической 3-поверхностью естественной гамильтоновой системы на М4 = X3 х D1, задаваемой гамильтонианом Н = t, где t — координата на отрезке.
Доказательство.
Начнем с пункта (б). Если симплектичность многообразия М4 = X3 х D1 (где D1 — отрезок) доказана, то в качестве гамильтониана Н можно взять функцию Н(х, t) = t, где ж и t — естественные координаты на прямом произведении X3xD1. Тогда X3 является 3-поверхностью уровня функции Н, т. е. изоэнер-гетическим 3-многообразием. Симплектичность 4-многообразия М4 следует из
212
Глава ^
и( гх)
хорошо известной топологической теоремы о существовании погружения любого ориентированного компактного гладкого 3-многообразия X3 в четырехмерное
евклидово пространство К4. Взяв трубчатую окрестность U погруженного многообразия i(X3) (рис. 4.16), мы получаем погруженное 4-многообразие. Оно является погружением прямого произведения М4 = X3xD1 (где D1 — отрезок), поскольку нормальное расслоение погруженного ориентируемого многообразия коразмерности один в К4 всегда тривиально. Далее, поскольку на Ж4 существует каноническая симплектическая структура вида dp A dq, то, ограничивая ее на погруженный образ многообразия М4, получаем симплектическую 2-форму на М4. ¦
Рис. 4.16
4.9.2. Класс (Н)
Определение 4.8. Обозначим через (Н) класс всех ориентируемых компактных замкнутых 3-многообразий, являющихся изоэнергетическими поверхностями интегрируемых боттовских гамильтоновых систем (т.е. интегрируемых при помощи боттовских интегралов).
Класс (Н) образует некоторое подмножество в классе (М). Выше мы сформулировали вопрос: совпадает ли (Н) с (М) или нет? Чем интересен этот вопрос? Дело в том, что если класс (Н) окажется меньше класса (М), то мы сразу получаем новые топологические препятствия к интегрируемости гамильтоновых систем: если изоэнергетическая 3-поверхность некоторой гамильтоновой системы не принадлежит классу (Н), то эта система заведомо неинтегрируема (в классе боттовских интегралов). Как мы вскоре увидим, класс (Н) действительно меньше класса (М).
