Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 5.1. Функция p(t) корректно определена почти всюду на интервале (0, 1), за исключением точек, где она обращается в бесконечность, и является гладкой в окрестности каждого своего конечного значения.
Это утверждение очевидно, но мы прокомментирум его, напомнив один из способов вычисления функции вращения.
Рассмотрим четырехмерную окрестность U данного однопараметрического семейства торов в симплектическом многообразии (М4, а;). Без ограничения общности мы можем полагать, что эта окрестность является «двухпараметрическим» семейством торов Лиувилля вида U = Т2 х D2. Поскольку лиувиллевы торы являются лагранжевыми, т.е. ш\Т2 = 0, то ш является точной в U. Следовательно, существует 1-форма >с такая, что ш = d>c.
Рассмотрим стандартные переменные действия si и s2-> определенные для всех точек р е U следующими формулами:
si(p) = ^ j> х, s2(p) = ^
А ц
где интегрирование ведется по циклам Ли//, лежащим на торе, содержащем точку р. В частности, функции si, s2 постоянны на торах и могут рассматриваться как параметры двухпараметрического семейства торов U.
В силу классической теоремы Лиувилля, переменные действия независимы, Н = iT(si, s2), и гамильтоново векторное поле v может быть представлено в виде
v = sgrad Н = a sgrad si + b sgrad s2, dH , дН
где а = 7^— и о = -----гладкие функции от si и s2, постоянные на каждом
OS1 OS2
торе Лиувилля. Для семейства (Т2(?)}, в частности, а и b являются гладкими функциями параметра t.
Легко видеть, что функция вращения может быть записана теперь в виде p(t) = -7-7. Очевидно, что она является гладкой на интервале (0, 1) всюду,
W
кроме тех точек, где b(t) = 0, т.е. p(t) = 00.
В дальнейшем мы будем рассматривать класс интегрируемых систем, функции вращения которых являются «хорошими». Более точно это означает следующее. Будем считать, что функции вращения на всех ребрах молекулы W удовлетворяют следующим условиям:
1) Все критические точки функции p(t) изолированы, и число их конечно.
2) Функция p(t) является гладкой всюду, за исключением конечного числа точек, в которых она обращается в бесконечность. Эти точки мы в дальнейшем будем называть полюсами (функция р может вообще не иметь полюсов).
220
Глава 5
3) В окрестности каждого полюса функция ^ также является гладкой.
Замечание. Из перечисленных свойств 1-3 следует, что функция p(t) имеет предел при стремлении t к обоим концам интервала (0, 1). При этом предел, конечно, может оказаться бесконечным. Кроме того, функция р является монотонной в окрестности граничных точек интервала.
Отметим, в частности, что функция р, удовлетворяющая 1-3, не может быть постоянной ни на каком интервале.
Замечание. Перечисленные условия 1-3 не зависят от выбора базиса (Л, /л) внутри данного семейства торов. Это сразу следует из предложения 1.14.
Предложение 5.1. Любая функция, удовлетворяющая условиям 1-3, реализуется как функция вращения некоторой интегрируемой гамильтоновой системы.
Это утверждение почти очевидно и формально следует из общей теоремы реализации, которую мы докажем ниже.
Описанный класс функций р является чрезвычайно естественным. Одним из объяснений является следующее. Можно рассмотреть функцию arcctgp(f), отображающую единичный интервал в окружность. Тогда перечисленные выше условия 1-3 означают попросту, что это отображение в окружность имеет пределы на каждом конце интервала, и множество его критических точек конечно.
Определение 5.2. Две функции вращения р\ и р2 на интервале (0, 1) мы будем называть непрерывно (гладко) сопряженными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм (диффеоморфизм) т: (0, 1) -> (0, 1) такой, что pi (?) - р2(т(?)).
Другими словами, функции сопряжены, если они переходят друг в друга при подходящей замене аргумента (непрерывной или гладкой в зависимости от типа сопряженности).
Рассмотрим функцию вращения p(t) на интервале (0, 1), все ее полюса и точки локальных минимумов и максимумов. Построим «вектор», состоящий из вещественных чисел и символов «+оо» и «—оо». Первым элементом этого набора будет предел функции вращения в нуле (конечный или бесконечный). Затем, двигаясь вдоль интервала от 0 до 1, мы будем последовательно выписывать значения функции во всех ее полюсах, локальных минимумах и максимумах. При этом каждый полюс изображается двумя символами: мы указываем предел функции слева и справа от полюса. Наконец, последним элементом набора будет предел р в точке 1. В результате получим некоторый упорядоченный набор вещественных чисел и символов ±оо, который мы обозначим через R (см. рис. 5.1).
Рис. 5.1
Траекторная классификация. Первый шаг
221
Определение 5.3. Набор R назовем вектором вращения или R-вектором интегрируемой системы на данном однопараметрическом семействе торов (или же на данном ребре молекулы W*) относительно данного базиса (Л, р).
