Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 5.2. Функции вращения pi(t) и p2(t) непрерывно сопряжены тогда и только тогда, когда соответствующие им векторы вращения Ri и R2 совпадают.
Доказательство.
Рассмотрим две функции вращения на одном и том же интервале (0, 1). Пусть соответствующие им вектора вращения совпали. Для каждой из функций выпишем последовательность значений параметра t, при которых функция имеет полюса и достигает минимаксных значений. Для функции pi получится некоторый набор (®i, ... , xjv), а для функции р2 — некоторый набор (ух, ... , уи)-Наборы имеют одинаковую длину в силу совпадения векторов вращения. В частности, pi(xi) = p2(yi) для всех г. На каждом отрезке [ж*, xi+1] и [г/*, yi+1] функции pi(t) и p2(t) строго возрастают или строго убывают одновременно. Построим непрерывную монотонную замену параметра t, совмещающую эти функции. Эту замену достаточно построить для каждого из указанных отрезков в отдельности. Соответствующая замена задается следующей простой формулой:
т(0 = />2 Vl(0 ПРИ t G Xi+1]*
Эти замены т: [ж*, ж*+1] —> [г/*, y*+i] сшиваются затем в единую замену т: (0,1) -»¦ (0, 1) в силу условия pi(Xi) = p2(yi)
Доказательство предложения в обратную сторону очевидно. Предложение доказано. ¦
Комментарий. Таким образом, Д-вектор классифицирует функции, удовлетворяющие свойствам 1-3 с точностью до непрерывных сопряжений. В гладком случае следует быть более аккуратным и следить за характером функции в ее критических точках. Впрочем, если мы заранее потребуем, чтобы все ее особые точки были невырождены (более точно, следует потребовать, чтобы невырожденными были особенности функции arcctgp: (0, 1) —> S'1), то тот же самый Д-вектор будет классифицировать такие функции с точностью до гладких сопряжений. С помощью функции вращения и вектора вращения мы можем дать теперь траекторную классификацию систем на ребре молекулы.
Предложение 5.3. Пусть v и v' — две интегрируемые системы на симплек-тических 4-многообразиях М и М'. Рассмотрим два однопараметрических регулярных семейства Е и Е' торов Лиувилля в М и М'. Тогда эти системы топологически (гладко) траекторно эквивалентны на Е и Е' в том и только в том случае, когда на каждом из семейств существуют базисы (Л, //) и (Л', р!) такие, что функции вращения р и р', записанные в этих базисах, непрерывно (гладко) сопряжены.
Доказательство.
Предположим, что функции вращения p(t) и p'(t') сопряжены при некотором выборе базисов (Л, р) и (Л', р').
222
Глава 5
Рассмотрим для каждого семейства торов Е и Е' переменные угол (ipi, ip2) и (ip[, (р'2), отвечающие выбранным базисам. Каждая точка из однопараметрического семейства торов задается тогда своими координатами ip2) (соот-
ветств. (t', ip[, 1Р2))- Искомое непрерывное отображение Е —>¦ Е' первого семейства торов на второе можно задать теперь следующей формулой:
(t, <Ри <Р2) = {r{t), V?i, <р'2),
т.е. t' = T(t) <р[ = <р1 <р'2 = <р2.
Здесь через r(t) обозначено отображение на единичном интервале, сопрягающее функции вращения, т.е. //(r(i)) = p(t). Легко видеть, что отображение ? непрерывно и переводит траектории в траектории, что и требовалось.
Доказательство в обратную сторону очевидно. Предложение доказано. ¦
Следствие. В непрерывном случае при выполнении условий предложения 5.3 системы топологически траекторно эквивалентны тогда и только тогда, когда при подходящем выборе базисов векторы вращения R и R' этих систем совпадают.
5.2. Редукция трехмерной траекторной классификации к двумерной классификации с точностью до сопряженности
5.2.1. Трансверсальные сечения
Изучим теперь поведение траекторий интегрируемой гамильтоновой системы в окрестности особого слоя, т.е. на 3-атоме U(L) в нашей терминологии. Пусть L = Lc = /-1(с) — особый слой слоения Лиувилля, где /, как и выше, — боттовский интеграл системы, а с ? Ж. — его критическое значение. Согласно данному выше описанию структуры 3-атома U(L), слой L является расслоением типа Зейферта над графом К, который вложен в двумерную поверхность Р,
s1
являющуюся базой расслоения Зейферта тг: U{L) —у Р (см. главу 3).
Выделим два случая:
а) атом U(L) не содержит седловых критических окружностей с неориенти-руемыми сепаратрисными диаграммами;
б) атом U(L) содержит хотя бы одну такую окружность.
Как мы уже видели выше, в случае (а) база Р может быть реализована как сечение расслоения тг.
В случае (б) такого сечения нет. Однако вместо базы Р мы можем рассмотреть «удвоенную» поверхность Р с инволюцией т такую, что Р = Р/т. Поверхность Р уже может быть реализована как трансверсальное «сечение» расслоения 7г так, что каждый неособый слой пересекает Р дважды, а особые слои — только один раз. Причем точки пересечения особых слоев с сечением Р в точности совпадают с неподвижными точками инволюции т. Простейший пример показан на рис. 5.2.
