Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Болсинов А.В. -> "Интегрируемые гамильтоновы системы " -> 97

Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.

Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы — И.: Удмуртский университет, 1999. — 444 c.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemi1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 193 >> Следующая


Доказательство этого утверждения получается, по-существу, из следующего общего факта (см. предложение 1.6 в книге Ю. Мозера [134], [337]). Сохраняющий симплектическую форму диффеоморфизм а на двумерном многообразии может быть представлен в виде а1, где сгг — гамильтонов поток, тогда и только тогда, когда а обладает первым интегралом. ¦

Оказывается, как заметил П. Топалов [195], [202], для гамильтониана F векторного поля w можно выписать простую явную формулу.

Предложение 5.6 (Формула Топалова). Гамильтониан F является ограничением на сечение Ptr функции вида —27rs, где s — переменная действия, отвечающая циклу v, который является ориентированным слоем расслоения Зейферта 7г: U(L) —> Р. Другими словами,

где ус — дифференциальная 1-форма в окрестности особого слоя, удовлетворяющая условию d>c = ш.

Замечание. Эта функция F уже возникала выше в главе 3 и была названа там периодическим интегралом системы на 3-атоме U(L).

Доказательство.

Рассмотрим произвольную точку х на двумерном трансверсальном сечении и покажем, что для нее а(х) совпадает со сдвигом этой точки на единицу вдоль векторного поля sgrad F. Оператор sgrad рассматривается здесь в смысле сим-плектической структуры на сечении. Ясно, что нам достаточно проверить это условие только для точек, лежащих на торах Лиувилля. Кроме того, если мы рассматриваем два изотопных трансверсальных сечения, то проверку можно производить для любого из них, поскольку при отображении одного на другое под действием потока w симплектическая структура и гамильтониан сохраняются. Поэтому мы можем выбрать сечение удобным для нас способом.

Итак, пусть v — слой расслоения Зейферта, а ц — цикл на торе, высекаемый сечением Ptr. Рассмотрим переменные действие-угол (si, s2, <Pi, <^2)5 отвечающие этим циклам. В частности, si = F.

Выберем теперь в качестве трансверсального сечения двумерную поверхность, задаваемую в окрестности данного тора двумя уравнениями Н = const

V
226

Глава 5

и <pi = 0. Напомним, что гамильтониан является функцией от переменных дей-

дН

ствия, причем в нашем случае —— ф 0. В противном случае траектории поля v

были бы замкнуты и гомологичны циклу ц, что противоречило бы трансверсальности. Отсюда следует, что в качестве локальных координат на выбранном нами сечении можно выбрать s% и Поскольку значение Н фиксировано, то на сечении переменная действия s\ является некоторой функцией S(s2) от S2-Итак, симплектическая структура на сечении имеет вид ds2 A dip2, и F = = —2ttsi = — 2ttS(s2)- Легко видеть, что векторное поле sgradF имеет в этом случае простой вид

sgradF = -2т (Ц) А

и сдвиг вдоль этого поля на единицу в координатах записывается так

(e2, <Pi) -»¦ («2, ^2 - 2тгт^)-

Посмотрим теперь, что происходит с точкой при отображении Пуанкаре. Векторное поле v в переменных действие-угол имеет вид

= дН д дН д

V dsi d<pi ds2 д(р2'

Отображение Пуанкаре заключается в том, что точке х с координатами (0, (р%) на

торе ставится в соответствие точка вида х + av, где коэффициент а выбирается

так, чтобы первая координата точки получила приращение 2п и точка попала бы на то же самое сечение. Ясно, что вторая координата точки изменится при этом на величину

ч дН/дз2 Ж dH/dsi

Другими словами, отображение Пуанкаре записывается в виде , , ( , _ дН/дз 2\

Учитывая, что на рассматриваемом сечении H(si, S2) = H(S(s2), S2) = const,

9 dS „ дН/дз2

мы видим, что величины сдвигов —27г-^— и 2тг----------;- совпадают, что и приво-

os2 дН/двх

дит нас к требуемому результату. Предложение доказано. ¦

Как мы видим, векторное поле Пуанкаре w определено на седловых атомах однозначно, а на атомах А — с точностью до добавления произвольного поля

вида 27Гтг—. С другой стороны, в седловом случае, в отличие от атомов А, неод-о<р

нозначно определено само сечение Ptr.
Траекторная классификация. Первый шаг

227

Определение 5.6. Пусть w — гамильтоново векторное поле на транверсаль-ном сечении Ptr С U(L), построенное в предложении 5.5. Его гамильтониан F мы будем называть гамильтонианом Пуанкаре (отвечающим данному трансвер-сальному сечению), а соответствующую однопараметрическую группу диффеоморфизмов а* — потоком Пуанкаре.

Заметим, что а1 = сг, где a: Ptr —> Ptr — отображение Пуанкаре.

Рассмотрим произвольный седловой атом U(L), содержащий хотя бы одну критическую окружность с неориентируемой сепаратрисной диаграммой. В этом случае, как мы знаем, в качестве трансверсального сечения выступает дубль Р. Сейчас мы хотим определить на сечении Ptr = Р некоторую инволюцию х-> ко_ торая по своим свойствам будет похожа на инволюцию т, определенную выше.
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed