Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Траекторная классификация. Первый шаг
223
Рис. 5.2
Предложение 5.4. Для топологически устойчивых интегрируемых систем поверхности Р и Р всегда можно выбрать так, чтобы они были трансверсальны интегральным траекториям системы v в окрестности особого слоя L атома U(L).
Доказательство.
Мы начнем с изучения свойств траекторий на особом слое L. Выбросим из слоя L все критические окружности интеграла /, т.е. все критические периодические решения. Слой L распадется в несвязное объединение некоторого числа колец, каждое из которых расслоено на траектории гамильтонова векторного поля v. Поведение этих траекторий на кольце может быть трех типов (а), (Ь) и (с), описанных в главе 3 (том 1) и изображенных на рис. 3.16.
Далее, в главе 3 было доказано, что если интегрируемая система топологически устойчива, то особый слой L не имеет колец типа (с).
Рассмотрим теперь какое-нибудь вложение поверхности Р или дубля Р в
3-атом U(L), трансверсальное слоям расслоения Зейферта. Рассмотрим пересечение этой поверхности с особым слоем. Это будет некоторый граф К = Р П L (соотв. К = Pn L). Поскольку колец третьего типа (с) нет, то можно продефор-мировать вложение этого графа в особый слой L таким образом, чтобы оно стало трансверсальным потоку v на L. Действительно, считая вершины графа неподвижными, мы сразу сводим задачу к тому, чтобы сделать такую деформацию на каждом кольце особого слоя по отдельности. Это, как легко видеть, всегда можно сделать для колец типа (а) и (Ь). И наоборот, этого нельзя сделать для колец типа (с). В результате мы получим трансверсальное вложение графа К (или К) в особый слой L.
Теперь это вложение можно попросту «утолщить» до вложения некоторой достаточно узкой двумерной окрестности этого графа, которой как раз и является поверхность Р (или Р). Трансверсальность, будучи свойством общего положения, при этом очевидно сохранится. Предложение доказано. ¦
Определение 5.4. Построенную в предложении 5.4 двумерную поверхность в U(L) мы назовем трансверсальным сечением 3-атома U(L). Обозначим эту поверхность через PtT.
224
Глава 5
Замечание. Иногда такие поверхности, обладающие свойством трансверсальности потоку, называют сечениями Пуанкаре.
5.2.2. Поток Пуанкаре и гамильтониан Пуанкаре
Определим теперь отображение Пуанкаре на трансверсальном сечении Ptr. Пусть х — произвольная точка на Ptr. Выпустим из нее интегральную траекторию поля v. Через некоторое время она впервые вернется на сечение Ptr и проткнет ее в некоторой точке у. Обозначим отображение х —> у через а. Определим отображение а следующим образом:
а = а в случае атома А или в случае седлового атома без звездочек (т.е. если Ptr ~ Р),
сг = (а)2 в случае седлового атома со звездочками (т.е. если Ptr ~ Р). Определение 5.5. Отображение a: Pfr —> Ptr назовем отображением Пуанкаре данного атома U(L).
Отметим, что точки пересечения Ptr с критическими окружностями интеграла / (которые, напомним, представляют собой периодические траектрии системы v) являются неподвижными точками отображения Пуанкаре. Обозначим эти точки через Si, ... , Sk-
Поскольку сечение Ptr реализовано нами в Q, то на него можно ограничить симплектическую структуру ш. Мы получим невырожденную замкнутую 2-форму, которую можно рассматривать как симплектическую структуру на поверхности Ptr. Обозначим эту 2-форму по-прежнему через ш. Невырожденность на Ptr следует из трансверсальности сечения Ptr ко всем интегральным траекториям поля v, поскольку ядро формы и;|дз в каждой точке порождается вектором v. Хорошо известно следующее утверждение.
Лемма 5.2. Отображение Пуанкаре а сохраняет форму, ограниченную на транс-версальное сечение Ptr.
Оказывается, с помощью отображения Пуанкаре можно определить естественную гамильтонову систему с одной степенью свободы на сечении Ptr-Предложение 5.5. На трансверсальном сечении Ptr существует гамильтоново векторное поле w = sgradF с гладким гамильтонианом F: Ptr —> Ж, обладающее следующими свойствами:
а) Отображение Пуанкаре a: Ptr —> Ptr является сдвигом вдоль интегральных траекторий поля w = sgrad F на время t = 1.
б) Исходный боттовский интеграл / системы v является также интегралом гамильтонова поля w.
в-1) В случае седлового атома U(L) поле w со свойствами (а) и (б) определено однозначно, а гамильтониан F определен, следовательно, с точностью до аддитивной постоянной. Если дифференциал отображения Пуанкаре не является тождественным отображением в точках Si, ... , Sk (то есть если соответствующие замкнутые критические траектории являются гиперболическими), то гамильтониан Пуанкаре F является функцией Морса.
Траекторная классификация. Первый шаг
225
в-2) В случае атома А поле w определено с точностью до добавления к нему
а к — произвольное целое число. Гамильтониан Пуанкаре F определен здесь с точностью до ks, где s — переменная «действие» на Ptr.
Комментарий. В случае атома А сечение Ptr является диском, расслоенным на окружности — линии уровня интеграла /. Для такого расслоения естественным образом определена система координат действие-угол. Именно эти функции и фигурируют в формулировке пункта (в-2).
