Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
б) Отрезки iV* разбивают кольцо С в сумму «прямоугольников» Zi, на каждом из которых линии уровня функции ip качественно ведут себя так, как это показано на рис. 6.2 (см. также рис. 6.1J. Другими словами, все остальные линии уровня {ip = const} (за исключением Ni) втыкаются в особые точки Smi.
в) Имеют место следующие формулы:
JVi = {ip = 0},
а при i = 1, ... , р
ъ+1 = |
„ Е5=.А,
2-Г 7 = 1
ч_\ ч >
Другими словами, приращение переменной «угол» ip внутри области Zi пропорционально числу Ami, отвечающему вершине Smi. Построенные в этой лемме линии уровня Ni мы будем называть отрезками раздела.
Доказательство.
Сначала докажем полезное вспомогательное утверждение, показывающее, с какой скоростью гамильтонов поток течет вблизи седловой особенности.
Рассмотрим на плоскости с координатами (и, v) функцию F = uv, произвольную симплектическую структуру и) = ш(и, v) duAdv и соответствующее гамильтоново поле w = sgrad F. Рассмотрим область G, изображенную на рис. 6.3. Она ограничена неотрицательными полуосями координат и и v, гиперболой F = uv = ео и двумя отрезками 7! = {и = 1} и 72 = {v = 1}, трансверсально
пересекающими линии уровня F = const. Рассмотрим функцию П(?), сопоставляющую каждому е е (0, ?о) время движения по куску траектории {F = е}, высекаемому отрезками ji и (рис. 6.3).
236
Глава 6
Лемма 6.2. Для любого п ? N имеет место равенство:
П(е) = -Рп{?) 1п(е) + с(е),
где Рп — некоторый полином степени п, а с{е) — функция класса Сп на отрезке [0, его]- При этом коэффициенты ai полинома
Рп{?) = fto а2?2 + ... + ап?п
совпадают с коэффициентами аи в тейлоровском разложении
ОО
ш(и, v) ~ aijUlv^.
г, j=О
В частности, ао = w(0, 0).
Доказательство.
Мы утверждаем, что значение функции П(е) может быть вычислено по формуле
udu — vdv
П(е) = J и(и, v)
и2 + V2
7е
Действительно, параметризуем 7е как траекторию векторного поля w. Тогда 7. = («(*),.(*)), *6[0, П(е)] и
%,%)=w = u~1(dF)=< «
dt ’ dt) \и)(и, vY ш(и, v) J
Подставляя в интеграл, получаем
П{е)
L(u, „)"!» -«*«= [ Л = П(е).
J и + V J
7е о
Параметризуем теперь эту же кривую иначе:
7(e) = (еет, е~Т), т ? [0, - 1пе],
Подставляя в интеграл, получаем
— In е
П(е) = J и)(?ет, е т) dr.
о
Поскольку ш — гладкая функция, то справедливо представление ш(и, V) = йоо + Ugo(u) + vh0(v) + uvl0(u, v),
Классификация гамильтоновых потоков
237
где gQ, и 2о — гладкие функции. Применяя такое разложение для функции /0 и повторяя эту процедуру несколько раз, мы получаем
п
ш(ееТ, е~т) = ^ akk?k + eeTgn(eeT) + +e~Thn(e~T) + en+1ln(eeT, е~т),
k=О
где gn, hn и ln — гладкие функции. Интегрируя это выражение по т, получаем
Ще) = - f ^2 akk^ Ins + ф),
Ч=о '
где с(е) — функция класса Сп на отрезке [0, ?о]5 что и требовалось доказать. Лемма 6.2 доказана. ¦
Следствие. Функция П(?г) допускает представление
П(е) = —А(е) Ins + В(е),
где А(е) и В(е) — гладкие функции класса С00 на отрезке [0, ?о]-
Вернемся к доказательству леммы 6.1. Рассмотрим на кольце С гладкие отрезки Ni, разбивающие кольцо на «прямоугольники» Zi, как показано на рис. 6.4.
Каждому ребру Kmi отвечает ровно один отрезок Ni. Напомним, что кольцо С расслоено на замкнутые траектории потока стг, и каждая такая траектория однозначно задается значением гамильтониана F на ней (мы будем обозначать ее через 7^). Пусть Пг(Р) — время прохождения точки внутри «прямоугольника» Zi ^)т его левой стороны Ni до правой стороны Ni+1 под действием потока аг вдоль интегральной траектории 7^.
Отметим, что в условиях леммы 6.2 вместо отрезков 71 и 72 можно рассмотреть любые другие гладкие кривые, пересекающие трансверсально оси координат. При этом вид формулы полностью сохраняется, лишь к функции с(е) добавится некоторая гладкая функция. Поэтому, используя лемму Морса, мы можем применить нашу лемму 6.2 к «прямоугольнику» Zi. В результате (для п = 0) мы получаем следующее асимптотическое представление для функции 11(F):
