Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Болсинов А.В. -> "Интегрируемые гамильтоновы системы " -> 100

Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.

Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы — И.: Удмуртский университет, 1999. — 444 c.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemi1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 193 >> Следующая


Шаг 4. «Оснащенная молекула». На предыдущих шагах мы полностью описали для каждого ребра и для каждого атома по отдельности соответствующие траекторные инварианты. Достаточно ли этой информации для того, чтобы полностью описать траекторное строение системы на изоэнергетической поверхности в целом? И да, и нет. Да, потому что никаких других существенно новых инвариантов, кроме уже вычисленных, не существует. И нет, потому что уже вычисленные инварианты не вполне корректно определены. Например, функция вращения на ребре существенно зависит от выбора базисных циклов на торах Лиувилля. Аналогичная неоднозначность, оказывается, имеет место и для «атомных инвариантов». Дело в том, что редуцированная система, т. е. поток Пуанкаре, существенным образом зависит от выбора трансверсального сечения, а точнее — от ее гомотопического класса. Поэтому нам следует пока считать трансверсальные сечения фиксированными. Это, кстати, дает возможность однозначно фиксировать систему базисных циклов на ребре, примыкающем к атому, и тем самым вычислить функции и векторы вращения в специальных базисах, связанных с фиксированными трансверсальными сечениями. Кроме того, фиксация транс-версальных сечений приводит к возникновению на каждом ребре молекулы так называемой матрицы склейки, которая фактически показывает «взаимное расположение» соседних сечений относительно друг друга.

На наш взгляд, в этом подходе имеется естественная аналогия со многими стандартными конструкциями в математике. Например, если мы хотим определить некоторый объект на гладком многообразии, к примеру, векторное поле, мы можем выбрать некоторый атлас карт и записать это векторное поле в соответствующих локальных координатах. Для полноты картины мы должны также указать функции перехода между картами. Тем самым пара — многообразие и векторное поле — будет полностью определена. Эта процедура, однако, неоднозначна, поскольку зависит от выбора атласа карт. Наша ситуация вполне аналогична. «Атлас карт» — это система трансверсальных сечений. «Функции перехода» — это матрицы склейки. Мы занимаемся тем, что изучаем некоторый объект, однозначно записывая его в фиксированном «атласе карт».

Итак, на этом шаге мы считаем систему трансверсальных сечений фиксированной, что позволяет все инварианты (и атомные, и реберные) вычислить совершенно однозначно. Мы собираем всех их воедино и вместе с матрицами склейки добавляем в качестве так называемого «оснащения» к молекуле W. В результате мы получаем молекулу, снабженную дополнительной информацией о траекториях системы.
232

Глава 5

Шаг 5. «Группа замен» и ее действие. Если бы на предыдущих шагах мы пользовались другой системой трансверсальных сечений, то мы, разумеется, получили бы другое оснащение молекулы. Возникает естественный вопрос: как связаны между собой два оснащения, соответствующие одной и той же системе, но вычисленные для двух различных систем трансверсальных сечений? Оказывается, эту связь можно записать явно и в результате мы получим действие дискретной «группы замен трансверсальных сечений» на множестве различных оснащений рассматриваемой молекулы.

Здесь опять, как нам кажется, уместна та же аналогия, что и выше: для того, чтобы исследовать некоторый объект, например, векторное поле на гладком многообразии, полезно знать, как меняется его координатное представление при замене атласа.

Шаг 6. «Инварианты группы замен, t-молекула и st-молекула». Этот шаг последний. Нас интересуют траекторные инварианты системы сами по себе, т.е. никак не связанные с выбором системы трансверсальных сечений. Поэтому на самом деле вместо «оснащенных молекул», которые определены неоднозначно, мы должны рассмотреть соответствующие им инварианты действия «группы замен трансверсальных сечений». Снабжая полным набором таких инвариантов молекулу W, мы получаем окончательный траекторный портрет системы, содержащий всю необходимую информацию. Этот портрет был назван нами t-молекулой в топологическом случае и st-молекулой в гладком. Следует отметить, что в общем случае явное описание полного набора инвариантов, т. е. набора различающего две произвольные орбиты, может быть весьма нетривиальной задачей. Она может решаться различными способами, а иногда даже не иметь разумного окончательного решения. Например, если пространство орбит нехаусдорфово. Поэтому с формальной точки зрения мы можем определить t-молекулу (st-молекулу) просто как элемент соответствующего пространства орбит. С другой стороны, для молекул не очень сложной структуры, которые как раз и встречаются в реальных задачах, возможно получение компактного окончательного ответа в виде молекулы, снабженной конечным набором числовых параметров. Соответствующие примеры будут указаны ниже.

Итак, мы вкратце описали общую схему построения полного набора траекторных инвариантов системы. Эта программа будет реализована в следующих главах.
Глава 6

Классификация гамильтоновых потоков на двумерных поверхностях с точностью до топологической сопряженности
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed