Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
6.1. Инварианты гамильтоновой системы на 2-атоме
В этом параграфе мы построим полный набор инвариантов, дающих классификацию гамильтоновых систем с одной степенью свободы в окрестности особого уровня гамильтониана с точностью до топологической сопряженности. Говоря о топологической сопряженности таких систем, мы будем подразумевать существование гомеоморфизма, который не только сопрягает потоки, но и сохраняет ориентацию.
Рассмотрим гамильтонову систему w — sgradF с одной степенью свободы на двумерном симплектическом многообразии (X, о;). Через а*: X —У X обозначим соответствующий гамильтонов поток (т. е. однопараметрическую группу диффеоморфизмов, порождаемую гамильтоновым векторным полем sgradF). Мы предполагаем здесь, что гамильтониан F: X —>¦ R является функцией Морса, т.е. все его особые точки невырождены. Пусть с — критическое значение гамильтониана F и К — F-1(c) — соответствующий особый уровень гамильтониана, который без ограничения общности мы будем предполагать связным. Рассмотрим достаточно малую регулярную окрестность Р особого слоя К. Как и в главе 2, в качестве такой окрестности удобно рассмотреть множество Р = F~1[c — e, с + е], где е достаточно мало для того, чтобы в эту окрестность не попало никаких особых точек гамильтониана кроме тех, что лежат на особом слое К. Наша задача — описать полный набор инвариантов гамильтоновой системы в окрестности особого слоя К, или — в терминологии главы 2 — на атоме (Р., К). Для нас наиболее интересным является случай, когда атом является седловым. Именно это мы будем ниже предполагать. В этом случае К является графом, все вершины которого имеют степень 4 и совпадают с особыми точками гамильтониана. Кроме того, без ограничения общности мы будем считать, что критическое значение с равно нулю, т.е. F(K) = 0.
6.1.1. Л-инвариант
Рассмотрим все критические точки Si, ... , Sn функции F на Р, т.е. вершины графа К. В каждой точке Si мы можем рассмотреть линеаризацию гамильтонова векторного поля w = sgrad F и собственные значения Аг- и линеаризованной системы. Поскольку рассматриваемое векторное поле — гамильтоново, то Ai — ~Hi, а в силу невырожденности особой точки А* > 0. Хорошо
234
Глава 6
известно, что А* — гладкий инвариант поля w в особой точке Si. Однако при гомеоморфизмах он не обязан сохраняться. Другими словами, каждое из чисел А*, рассматриваемое по отдельности, не является инвариантом в смысле топологической сопряженности. Тем не менее, рассмотрев все эти числа в совокупности, мы можем изготовить из них топологический инвариант. Вместо собственных значений линеаризованного векторного поля нам будет при этом удобнее рассмотреть их обратные величины А* = Х^1.
Определение 6.1. Совокупность вещественных чисел {Ai : Л2 : ... : Лп}, рассматриваемых с точностью до пропорциональности, мы назовем А-инвариантом гамильтоновой системы w = sgradF на атоме (Р, К).
Комментарий. Если (ж1, ж2) — локальная система координат в окрестности особой точки Si, то число Л* может быть вычислено по следующей явной формуле
/ det^J-A172 г ^ det ft ) ’
где d2F = ( ®F .(б'г)) и Cl = (u)ki{Si)) — матрица симплектической формы.
\дхкдх3 )
Предложение 6.1. A-инварианты топологически сопряженных гамильтоновых систем (заданных на двух экземплярах одного и того же атома) совпадают.
Доказательство.
Мы начнем с некоторой технической, но важной леммы, которая будет использоваться нами неоднократно и в дальнейшем.
Удаляя из поверхности Р особый слой К, мы превращаем Р в несвязное объединение колец С\, ... , С/, каждое из которых естественным образом расслоено на замкнутые траектории гамильтонова поля w. На каждом из этих колец мы можем ввести канонические переменные действие-угол s и <р. Сейчас нас будет интересовать переменная «угол» <р. Эта переменная является гладкой функцией на кольце, а потому можно рассмотреть ее линии уровня. Линии уровня <р определены неоднозначно, поскольку угол на каждой неособой окружности (являющейся линией уровня переменной действия s) определен с точностью до сдвига. Поэтому, если мы хотим изобразить линии уровня функции <р, нам нужно сначала выбрать и фиксировать начало отсчета на каждой траектории. Это можно сделать, положив <p\N = 0, где N — некоторый гладкий «отрезок», соединяющий пару точек на внешней и внутренней границе кольца и трансверсальный траекториям (рис. 6.1). После этого функция р> будет
Рис. 6.1
Классификация гамильтоновых потоков
235
Рис. 6.2
определена однозначно. На рис. 6.1 изображена качественная картина поведений ее линий уровня. Более точно, справедливо следующее утверждение.
Лемма 6.1. Пусть С = Ст — произвольное кольцо атома (Р, К), Кт1, ... , Ктр — ребра графа К, примыкающие (инцидентные) к данному кольцу С. Пусть Smi — вершины графа К, являющиеся концами ребер Kmi. Тогда:
а) На каждом ребре Kmi существует единственная внутренняя точка хявляющаяся предельной точкой некоторой гладкой линии уровня N = {ip = а{} переменной «угол» ip на кольце С (рис. 6.1J. При этом начальный отрезок N совпадает с N±.
