Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Положим х — 67 67-1/2, где а уже было определено выше, а 67-1/2 — это диффеоморфизм при t = — У2.
Покажем, что х: Ptr —¦> Ptr — это действительно инволюция. Рассмотрим поток ^ = (б7)_1б7*б7. Он, очевидно, сохраняет симплектическую структуру на сечении Ptr, т.е. является гамильтоновым и, кроме того, при t = 1 принимает вид:
g1 = {а)-1 (Т1^ = (т. к. а1 = бт = а2) = (а)-1 (а)2а = (а)2 = <т.
Итак, g1 = бт. Однако, в силу предложения 5.5, такой гамильтонов поток ^ определен однозначно для седлового атома и совпадает с потоком Пуанкаре иг. Следовательно, ^ =(тг, т.е. а* и и коммутируют при любом t. Отсюда, х2 — = 6767_1/267 = 67267_1 = id, т.е. х является инволюцией. Кроме того, х коммутирует с 67*, т.е. сохраняет поток Пуанкаре а* на сечении Ptr = Р.
Заметим, что инволюция х однозначно определяется самим векторным полем v без использования переменных действия и симплектической структуры.
5.3. Редукция двух степеней свободы к одной
Напомним, что две динамические системы X) и (gft, X') топологически (гладко) сопряжены, если существует гомеоморфизм (соотв. диффеоморфизм) ?: X —> Xпереводящий первую систему во вторую, т.е.
/ = &с1-
Кроме этого, в случае, когда многообразия X и X' являются ориентированными, мы будем дополнительно требовать, чтобы ? сохранял ориентацию.
Теорема 5.1 (Теорема редукции).
а) Пусть две интегрируемые системы топологически (гладко) траекторно эквивалентны. Рассмотрим два атома U(L) и U'(L'), соответствующие друг другу при этой эквивалентности, и пусть Ptr С U(L) — любое гладкое трансверсальное сечение. Тогда существует гладкое трансверсальное сечение Р/г С U'(L') такое, что потоки Пуанкаре на Ptr и на Р[г топологически (гладко) сопряжены. При этом в случае седлового атома со звездочками сопрягающий гомеоморфизм (диффеоморфизм) переводит инволюцию х в инволюцию х' ¦
228
Глава 5
б) Обратно, пусть дана система v на атоме XJ{L) и система v' на атоме U'(L'). Пусть внутри каждого из атомов существуют трансверсальные сечения PtT и Р[Т такие, что потоки Пуанкаре на этих сечениях топологически (гладко) сопряжены, причем в случае седловых атомов со звездочками сопрягающий гомеоморфизм (диффеоморфизм) переводит инволюцию х в инволюцию х' • Тогда две системы v и v' топологически (гладко) траекторно эквивалентны на данных атомах.
Доказательство.
(а) Рассмотрим сначала непрерывный случай. Пусть Ptr — образ сечения Ptr при траекторном гомеоморфизме U(L) —> U'(L'). Вообще говоря, PtT не является гладкой поверхностью в U'(L'). Нам же нужны гладкие сечения. Поэтому вместо Ptr мы возьмем любое гладкое сечение Р/г, ему изотопное. Из траекторной эквивалентности систем v и v’ следует, что на сечениях PtT и Р/г отображения Пуанкаре а и а' сопряжены. При этом мы опираемся на то обстоятельство, что при изотопии сечения класс сопряженности отображения Пуанкаре не меняется.
Нам нужно показать теперь, что из сопряженности отображений Пуанкаре следует сопряженность соответствующих потоков Пуанкаре. Выше мы договорились рассматривать только нерезонансные системы. Покажем, что при этом предположении из условия а' = ?-1(т? автоматически следует, что art = Действительно, в терминах отображения Пуанкаре нерезонансность означает, что почти для любой точки х G PtT замыкание ее орбиты под действием а является окружностью — линией уровня дополнительного интеграла /. В силу гамильтоновости, ограничение а на эту окружность сопряжено повороту на некоторый угол 2жа, где а — некоторое ирациональное число. Как теперь найти точку а*(х), зная лишь образы х под действием отображений вида ап, где п — целое? Ответ следующий. В силу иррациональности а существует последовательность целых чисел rik, для которых (arik — t) mod 1 —> 0. Поэтому точка аг(х) может быть охарактеризована как следующий предел
(Т1{х) = lim аПк(х).
к—юо
Совершенно аналогичным образом дело обстоит и на трансверсальном сечении Р{т для точки у = ?(ж). Числа а и а' при этом обязаны совпадать в силу сопряженности сг и сг'. Поэтому
<г;<(?(®)) = ,lim <г'Пк(?(х))-
К—too
Переходя к пределу в равенстве а,Пк(?(х)) = ?аПк(х), получаем
*;<(?(*)) =
Поскольку «иррациональные» точки всюду плотны, то из соображений непрерывности это соотношение будет выполняться тождественно, что и требовалось.
Отметим, что хотя мы пользовались здесь условием нерезонансности, утверждение теоремы остается справедливым и в общем случае.
Траекторная классификация. Первый шаг
229
В случае атомов со звездочками утверждение о согласованности сопрягающего гомеоморфизма ? с инволюциями х и х' следует из того, что эти инволюции однозначно определяются траекториями рассматриваемых гамильтоновых систем.
(б) Докажем утверждение в обратную сторону. Пусть задан гомеоморфизм между сечениями Ptr и Р(г, сопрягающий потоки Пуанкаре (и переводящий х в х' в случае атомов со звездочками). Рассмотрим произвольную точку х в атоме U(L). Проведем через нее интегральную траекторию 7 поля sgradН. Двигаясь по ней в обратном направлении из точки х, мы в некоторый момент впервые встретим сечение Ptr в некоторой точке у. Обозначим через t время, необходимое точке, движущейся под действием гамильтонова потока, чтобы попасть из ж в у. Рассмотрим на сечении Р(г соответствующую точку ((у) и затем смес-
