Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
(2,1). В обоих случаях эти расслоения на окружности естественно продолжаются на четырехмерную окрестность У(»%). Рассмотрим теперь произвольный тор Лиувилля, близкий к особому слою L. Он обязательно пересекает одну или несколько четырехмерных окрестностей V(Si) (рис. 3.10). Каждая из них позволяет нарисовать на торе некоторую окружность (поскольку каждая V(Si) уже расслоена на окружности). Получившиеся окружности на торе являются гомологичными нетривиальными циклами (рис. 3.10). Это вытекает из следующей леммы.
Лемма 3.2. Пусть Ts — гладкое семейство торов Лиувилля, на каждом из которых выбран цикл (окружность) 78, гладко зависящий от S, причем при стремлении S к нулю эти циклы стремятся к замкнутой траектории 70 векторного поля sgrad iif (в С1 -метрике). Тогда каждый цикл 7S нетривиален (т. е. не гомологичен нулю) на торе Ts.
Доказательство.
Из соображений непрерывности ясно, что все циклы 78 одновременно либо тривиальны на торах Ts, либо нетривиальны. Допустим от противного, что все они тривиальны. Тогда гладкая кривая 7S ограничивает на торе двумерный диск (рис. 3.11). На ней обязательно найдется
d/y
точка xs, в которой векторы sgradН и на-
Рис. 3.11 правлены в противоположные стороны. Дело в
том, что в силу теоремы Лиувилля, при подходящем выборе координат на торе, поле sgrad-ff выпрямляется (см. рис. 3.11). Устремим теперь S к нулю. Тогда
d/y
вектор стремится к вектору v = sgrad Н в каждой точке. Ясно, что это эти два факта противоречат друг другу. Лемма доказана. ¦
Возвращаемся к доказательству теоремы 3.2. Мы получили на каждом торе Лиувилля, близком к L, нетривиальную окружность 7 (близкую к замкнутой интегральной траектории Si поля v = sgradН). Если тор Лиувилля проходит мимо нескольких замкнутых траекторий Si, то мы получим на нем несколь-
Глава 3
157
ко таких нетривиальных окружностей. Их гомологичность следует из того, что они не пересекаются. Обратим внимание на то, что это рассуждение показывает гомологичность окружностей лишь с точностью до их ориентации. Можно ли ориентировать их таким образом, чтобы на каждом торе Лиувилля они стали гомологичными уже как ориентированные циклы? (Мы, разумеется, хотим, чтобы вблизи каждой из критических окружностей Si циклы 7 имели одинаковую ориентацию.) В принципе, это не очевидно. Конечно, на каждом отдельном торе Лиувилля все расположенные на нем циклы 7 можно согласованно ориентировать. Но к особому слою L могут примыкать не один, а много разных торов Лиувилля. Следовательно, надо согласовывать ориентации циклов 7 на разных торах. Возможно ли это? Ответ положительный.
Обсуждаемый вопрос можно переформулировать следующим образом. Рассмотрим произвольный тор Лиувилля Т, попавший в окрестность V(L). На нем имеется один или несколько циклов 7, которые гомологичны между собой с точностью до ориентации. Рассмотрим «двузначную» функцию, определенную по уже знакомой нам формуле
Здесь, как и выше, а — дифференциальная 1-форма действия, т. е. da = ш (можно показать, что такая форма в окрестности V(L) всегда существует). Эта функция, очевидно, гладко продолжается на всю окрестность V(L). Нам на самом деле нужно показать, что эта «двузначная» функция распадается на две однозначные функции, каждая из которых может быть рассмотрена в качестве искомого периодического интеграла.
Для этого достаточно заметить, что F имеет смысл переменной действия (см. выше теорему Лиувилля), поскольку циклы 7 нетривиальны на торах Лиувилля. Отсюда сразу следует, что интегральные траектории («двузначного») векторного поля sgradF замкнуты с периодом 27г. Кроме того, имеет место соотношение
где а и (3 постоянны на каждом слое Лиувиллева слоения. Рассмотрим это соотношение на особом слое L. Заметим, что а и (3 не могут быть равны нулю одновременно, иначе мы получили бы противоречие с 27г-периодичностью траекторий. Выберем теперь знаки аи (3 каким-то определенным образом и фиксируем наш выбор. В результате мы получим на особом слое L однозначное векторное поле, всюду отличное от нуля. Мы можем теперь однозначно продолжить его на окрестность V(L), выбирая знак из соображений непрерывности.
В итоге мы получим в V(L) гладкое однозначное векторное поле, все траектории которого замкнуты с периодом 27т и лежат на слоях лиувиллева слоения. Остается в качестве периодического интеграла взять его гамильтониан. ¦
Следствие. На V (L) естественно определено пуассоново действие окружности — сдвиг вдоль интегральных траекторий поля sgrad-F на угол ip. Траектории поля sgradF — это в точности орбиты действия этой группы.
sgradF = iasgrad-ff ± (3sgrad/,
158
Грубая эквивалентность интегрируемых систем
Доказанный результат можно проинтерпретировать следующим образом. Согласно теореме Лиувилля в окрестности каждого неособого слоя лиувиллева слоения можно определить переменные действия si, s2- Как они себя ведут в окрестности особого слоя? Теорема 3.2 утверждает, что одна из переменных действия (если соответствующий ей цикл выбран правильным способом!) выживает, то есть является гладкой функцией в окрестности особого слоя с отличным от нуля дифференциалом. Отметим, что аналогичный результат справедлив для невырожденных систем и в многомерном случае, см. [341], [342], [344].
