Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Полученную выше формулу можно взять за определение числа вращения. При этом гамиль-тоновость системы нигде не используется. Следовательно, число вращения определено для более широкого класса динамических систем на торе.
Отметим, что число вращения зависит от выбора базиса на торе. Выбирая переменные действие-угол, мы тем самым указываем и некоторый базис циклов на соответствующем торе Лиувилля. Эти циклы являются просто линиями уровня угловых переменных на торе. И наоборот, выбрав базис циклов на торе, мы можем построить такие переменные действие-угол, для которых базисные циклы будут линиями уровня угловых переменных. Рис- 1-3
Полезно понять, как меняется функция вращения при замене пары базисных циклов А, [1 на циклы А', р!. Хорошо известно, что для любой пары базисов всегда
38
Глава 1
существует некоторая целочисленная матрица такая, что
А\ = /ах а2\ /А'\
\fx) \а3 о4/ \А*7 ’
Предложение 1.14. Пусть р — число вращения для пары циклов А и ц, а р' — число вращения для пары циклов А' и ц'.
Тогда числа р и р' связаны соотношением:
, _ ра\ + аз Р ~ ра2 + «4'
Доказательство следует из стандартных формул преобразования координат вектора при замене базиса. ¦
Эта формула позволяет определить число вращения р' в том случае, когда циклы А' и ц' базиса на торе не образуют, но являются линейно независимыми. В этом случае матрица перехода будет, вообще говоря, рациональной.
Аналог числа вращения можно определить и в случае интегрируемых систем с многими степенями свободы. Фиксируем базис на торе Лиувилля и выберем соответствующие им угловые координаты <pi, ... , <рп, в которых гамильтоново векторное поле v выпрямляется и принимает вид
Ф\ — Ci, ... , фп — Сп.
В качестве аналога числа вращения естественно рассмотреть набор частот с точностью до пропорциональности, т.е.
(ci : с2 : ... : сп).
1.8. Отображение момента интегрируемой системы и его бифуркационная диаграмма
Пусть М2п — симплектическое многообразие с интегрируемой по Лиувиллю гамильтоновой системой v = sgrad#, и Д, ... , fn — ее независимые инволю-тивные интегралы. Определим гладкое отображение
F-. М2" -> К", где F(x) = (h(x), /„(*)).
Определение 1.16. Отображение Т называется отображением момента.
Определение 1.17. Точка х из М называется критической (или особой) точкой отображения момента JF, если ранг djr(x) меньше п. Ее образ Т{х) в W1 называется критическим значением.
Пусть К — совокупность всех критических точек отображения момента в М.
Определение 1.18. Образ К при отображении момента, т.е. множество Е = J-(K) с Мп, называется бифуркационной диаграммой.
Основные понятия
39
Таким образом, бифуркационная диаграмма — это совокупность всех критических значений отображения момента. Согласно теореме Сарда, множество Е имеет меру нуль в 1". В большинстве примеров интегрируемых систем, встречающихся в физике и механике, множество Е является многообразием с особенностями. Другими словами, оно состоит из нескольких стратов (кусков) Е% являющихся гладкими г’-мерными поверхностями в Жп. Условно можно записать, что Е = Е° + Е1 + ... + En_1, где разные страты между собой не пересекаются, и их объединение дает все Е. Граница каждого страта Ег содержится в объединении стратов меньшей размерности (рис. 1.4). В таком случае Е называется стратифицированным многообразием. Некоторые Ег могут быть пусты.
В типичных ситуациях дополнение к Е, т. е. Жп \ Е открыто и всюду плотно в Жп. Множество Жп \ Е может состоять из нескольких компонент линейной связности. Иногда мы будем называть их камерами.
Отображение момента и его бифуркационная диаграмма тесно связаны со слоением Лиувилля на М2п.
Во-первых, слой лиувиллева слоения — это связная компонента прообраза точки при отображении момента. В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что все слои лиувиллева слоения компактны. Это условие, конечно, выполнено, если само симплектическое многообразие М2п или поверхности уровня гамильтониана Н компактны.
Во-вторых, Е — это образ особых слоев слоения Лиувилля.
Рис. 1.5
В-третьих, над каждой камерой слоение Лиувилля локально тривиально. В частности, прообразы всех точек камеры диффеоморфны несвязному объединению одного и того же числа торов Лиувилля.
40
Глава 1
Бифуркационная диаграмма позволяет следить за перестройками торов Лиувилля при изменении значений первых интегралов Д, ... , /п. Пусть, например, точки а и Ъ соединяются гладкой дугой 7, встречающей в некоторой точке с бифуркационную диаграмму Е. Некоторое число торов Лиувилля «висит» над точкой а, и некоторое (возможно другое) число торов Лиувилля — над точкой Ъ. При движении точки от а к & вдоль дуги 7(t) торы Лиувилля гладко «плывут» в М2п и над точкой с могут подвергнуться топологической перестройке (бифуркации). См. рис. 1.5. Например, один тор может распасться на два.
