Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
А-Х • (?].5 ••• ) tn) У Ф(^1) ••• ) tn)(x)l
где х — некоторая фиксированная точка из Т^. Поскольку поля sgrad fi независимы, то это отображение является погружением, т.е. локальным диффеоморфизмом на образ. Итак, образ (то есть орбита точки х) открыт в Т^. Если допустить, что подмногообразие не является орбитой группы Ж.га, то оно является объединением по крайней мере двух орбит. Но так как каждая из них открыта, то Т| оказывается несвязным, что противоречит условию. Лемма доказана. ¦
Лемма 1.5. Орбита действия группы Ж.га, имеющая размерность п, является фактор-пространством Ж.га по некоторой решетке Ък. Если орбита компактна, то к = п и орбита является п-мерным тором.
Доказательство.
Каждая орбита О(х) гладкого действия группы является фактор-простран-ством (= однородным пространством) группы по стационарной подгруппе Нх точки х. Ясно, что подгруппа Нх дискретна, поскольку отображение Ах локально является диффеоморфизмом. Напомним, что дискретная подгруппа не имеет точек накопления. В частности, внутри любого ограниченного множества всегда находится лишь конечное число элементов этой подгруппы. Утверждается далее, что Нх является решеткой Z*. Доказательство проведем индукцией по п.
Пусть п = 1. Возьмем на прямой ненулевой элемент е\ из Нх, ближайший к нулю. Тогда все остальные элементы из Нх ему кратны. В самом деле, если элемент е некратен е±, то для некоторого к имеем:
ке 1 < е < (к + l)ei.
Но тогда элемент е — кеi, ближе к нулю, чем е\.
Получили противоречие.
Пусть п = 2. В качестве е\ выберем ненулевой элемент, ближайший к нулю на плоскости R2 и рассмотрим порожденную им прямую l(ei) (рис. 1.1). Все элементы из Нх, лежащие на ней, кратны е\. Далее возникают две возможности. Может оказаться, что все элементы из Нх уже лежат на прямой l(ei). Тогда доказательство завершается. Вторая возможность: существуют элементы группы Нх, не лежащие на l(ei). Тогда в качестве e<i возьмем ненулевой элемент, ближайший к прямой l(ei). Легко видеть, что такой элемент существует. Утверждается, что все элементы группы Нх, оказавшиеся в плоскости, натянутой на е\ и е2, являются их линейными комбинациями с
30
Глава 1
целыми коэффициентами. Допустим противное и пусть h — элемент из Нх, не разлагающийся по е\ и е2 с целыми коэффициентами. Тогда разобьем плоскость на параллелограммы, порожденные е\ и е2 (рис. 1.2). Элемент h оказывается в одном из них, причем не находится в вершине параллелограмма. Ясно, что сдвинув h на подходящую целочисленную комбинацию е\ и е2, мы обнаружим элемент h', более близкий к прямой l(ei), чем е2. Получили противоречие.
Продолжая это рассуждение далее по индукции, мы и получаем, что существует базис е±, ... , е*г в подгруппе Нх такой, что каждый ее элемент является однозначной линейной комбинацией векторов базиса с целыми коэффициентами.
Если к < п, то фактор-пространство Мп/Zfe является цилиндром, т.е. прямым произведением Тк х где Тк —
fe-мерный тор. В частности, только при п = к орбита компактна, и тогда она диф-феоморфна тору Тп.
Лемма доказана. ¦
Следовательно, доказан пункт 2 теоремы 1.2.
3) Докажем, что окрестность U тора Т? является прямым произведением
тора Тп на диск Dn.
Этот факт следует из следующей более общей и хорошо известной теоремы. Пусть f:M —> N — гладкое отображение гладких многообразий и у из N — регулярное значение для /, то есть во всех точках прообраза /-1(г/) ранг df равен размерности N. В частности, dimМ ^ dimiV. Пусть, кроме того, множество /-1(г/) компактно. Тогда существует окрестность D точки у в N такая, что ее полный прообраз диффеоморфен прямому произведению D х ГЧу)-
Причем структура прямого произведения согласована с отображением / в том смысле, что отображение / на D х /-1(г/) совпадает с естественной проекцией D х/ 1(у) на D. Отсюда следует, в частности, что каждое множество вида / 1(z) при z G D диффеоморфно /-1(г/).
Эта теорема фактически является переформулировкой известной теоремы
о неявных функциях.
4) Построение переменных действие-угол. Рассмотрим окрестность U(T^) = = х Dn тора Лиувилля ТВыберем на каждом из торов Лиувилля Т некоторую точку х, гладко зависящую от тора. Рассмотрим тор Т как фактор-простран-ство Мп /Нх и фиксируем в решетке Нх базис е±, ... , еп. Отметим, что этот базис будет гладко зависеть от х. Действительно, координаты базисного вектора е* = = (t 1, ... , tn) являются решениями уравнения Ф(?ь ... , tn)x = х, где х выступает в качестве параметра. По теореме о неявной функции решения этого уравнения гладко зависят от х. Отметим, что условия этой теоремы выполне-
ны, поскольку ^-Ф(?)ж = sgrad fj (Ф(?)ж), а векторные поля sgrad fj линейно
независимы.
Рис. 1.2
Основные понятия
31
Определим теперь угловые координаты на торе Т? следующим образом. Если у = Ф (а)х, где а = oiei + ... + апеп Е Ж.2п, то ipi{y) = 2irai mod 2тг, ... , фп{у) = = 2пап mod 2ж.
