Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Такая система координат на фиксированном торе обладает следующим очевидным свойством: векторные поля ¦ ¦ ¦ , -^7— и sgrad/1, ... , sgrad fn связа-
Оф\ OiPn Q
ны между собой линейной заменой с постоянными коэффициентами, т.е. = = sgrad fk.
Запишем снова форму и) в координатах (Д, ... , /п, ф±, ... , фп)
U = ^2 *3 dfi Л d^3 + X) Ь{3 Л dh'
i, j i,j
В этом разложении члены вида aij d'tpi Л diftj отсутствуют, поскольку торы Лиувилля являются лагранжевыми. Мы утверждаем, что коэффициенты сг_,- симплектической формы в точности совпадают с коэффициентами сг_,- и, в частности, не зависят от ф±, ... , фп.
Действительно,
г” = " Wi’ щ) = "ш ^Ckisgradл) =
= YsCki“(K]ffj’ s§rad/fe) = ^°кзЩ = С{з = ••• ? fn)-
Покажем, что функции Ь^ тоже не зависят от (-01, ... , фп). Из замкнутости формы и) вытекает равенство
dbjj dckj _ dckj
дфк dfi dfj '
Функция bij является 27г-периодической по фк (как функция на торе), но, как
мы видим, ее производная не зависит от фк- Отсюда следует, что и сама
ифк
функция Ь^ не зависит от фк-
Из этого обстоятельства вытекает еще одно важное следствие. Запишем форму и; следующим образом и; = (^ Cij dfj) Л dфi + ^ bij dfi Л dfj = ^ щ Л dфi + /3, где cij dfj и Р = Л bij dfi Л dfj — формы на диске Dn (не зависящие
от (-01, ... , фп)). Из замкнутости формы и) сразу следует, что формы Wj и (3 тоже являются замкнутыми.
Лемма 1.6. В окрестности U(T?) форма и) является точной, т.е. существует
1-форма а такая, что da = ш.
Доказательство.
Эта лемма является следствием следующего общего утверждения. Пусть Y — подмногообразие в X, причем существует отображение /: X —> Y С X, гомотопное тождественному отображению id: X —у X. Тогда замкнутая дифференциальная форма х точна на X тогда и только тогда, когда точна форма к\у. В
32
Глава 1
нашем случае, когда X — это окрестность тора Лиувилля, a Y — это сам тор Лиувилля, выполнено даже более сильное условие: ш\г = 0, поскольку тор Т? лагранжев.Поэтому ш точна. ¦
То же самое, впрочем, можно доказать явным вычислением. Поскольку формы u>i и (3 являются замкнутыми формами на диске, то они точны и поэтому существуют функции s* и 1-форма х на диске Dn такие, что dsi = w* и d% = [3. Положим а = Yh si di/ji + ус. Тогда da = ^ dsi A difii + dye = u>i A difii + j3 = ш.
Рассмотрим функции ai = ei(/i, , /„), ... , sn = sn(fi, и по-
кажем, что они независимы. Действительно, из формулы ш = ^ dsi A dipi + {3 следует, что матрица П симплектической формы ш имеет вид
О ; сЛ
V Cij • bij/
ds-
причем Cij = ду-. Поэтому det S7 = (det(7)2, и det С ф 0, где С — мат-ofj
рица Якоби замены ai = ... , /„), ... , sn = sn(fi, ... , /„). Таким об-
разом, мы можем теперь рассмотреть новую систему независимых координат
(в1, ••• 5 Sn, "01, . . . , фп).
Представим форму ус в виде ус = gi dsi и сделаем еще одну замену <pi = = ipi — gi(si, ... , sn). Геометрически это означает, что на торах Лиувилля мы меняем начальные точки отсчета угловых координат. Линии уровня и даже базисные векторные поля угловых координат при этом не меняются.
Покажем, наконец, что система построенных переменных действие-угол (si, ... , s„, <р 1, ... , <рп) является канонической. Имеем
^2 dSi A dipi = ^2 dsi л - gi(s 1, .. • , en)) =
= ^2 dsi л + ^2 dSiisu ¦¦¦ , sn) A dsi =
= ^2 dsi A dipi + d>c = ^2 dsi Л dipi + (3 = ш.
Переменные действие-угол построены.
Осталось доказать, что поток v выпрямляется на торе Лиувилля в координатах (в1, ... 5 sn, <^1, ••• 5 (fin)•
Действительно, sgrad Si = поэтому
u(pi
= sgradв,-(Я) = {e,-(/i, .. • , /„), H} = О,
т.е. Н — это функция только от si, ... , sn¦ Следовательно,
ОН , sr^dH д
, JJ ST' on , on о
sgrad Я = 8grad8*' = ?
Основные понятия
33
причем коэффициенты ——
08%
ч
зависят только от переменных действия s\, ... ,
т. е. постоянны на торах Лиувилля. Теорема Лиувилля доказана.
Комментарий. Отметим, что переменные действия si, , sn могут быть заданы явной формулой. Пусть и(Т%) = Dn хГ — окрестность лиувиллева тора. Фиксируя некоторый базис е±, ... , еп в решетке, отвечающей тору Т^, мы тем самым однозначно определяем набор базисных циклов 71, ... , 7„ в фундаментальной группе = Zn. По непрерывности эти циклы могут быть распро-