Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Болсинов А.В. -> "Интегрируемые гамильтоновы системы " -> 15

Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.

Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы — И.: Удмуртский университет, 1999. — 444 c.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemi1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 193 >> Следующая


Такая система координат на фиксированном торе обладает следующим очевидным свойством: векторные поля ¦ ¦ ¦ , -^7— и sgrad/1, ... , sgrad fn связа-

Оф\ OiPn Q

ны между собой линейной заменой с постоянными коэффициентами, т.е. = = sgrad fk.

Запишем снова форму и) в координатах (Д, ... , /п, ф±, ... , фп)

U = ^2 *3 dfi Л d^3 + X) Ь{3 Л dh'

i, j i,j

В этом разложении члены вида aij d'tpi Л diftj отсутствуют, поскольку торы Лиувилля являются лагранжевыми. Мы утверждаем, что коэффициенты сг_,- симплектической формы в точности совпадают с коэффициентами сг_,- и, в частности, не зависят от ф±, ... , фп.

Действительно,

г” = " Wi’ щ) = "ш ^Ckisgradл) =

= YsCki“(K]ffj’ s§rad/fe) = ^°кзЩ = С{з = ••• ? fn)-

Покажем, что функции Ь^ тоже не зависят от (-01, ... , фп). Из замкнутости формы и) вытекает равенство

dbjj dckj _ dckj

дфк dfi dfj '

Функция bij является 27г-периодической по фк (как функция на торе), но, как

мы видим, ее производная не зависит от фк- Отсюда следует, что и сама

ифк

функция Ь^ не зависит от фк-

Из этого обстоятельства вытекает еще одно важное следствие. Запишем форму и; следующим образом и; = (^ Cij dfj) Л dфi + ^ bij dfi Л dfj = ^ щ Л dфi + /3, где cij dfj и Р = Л bij dfi Л dfj — формы на диске Dn (не зависящие

от (-01, ... , фп)). Из замкнутости формы и) сразу следует, что формы Wj и (3 тоже являются замкнутыми.

Лемма 1.6. В окрестности U(T?) форма и) является точной, т.е. существует

1-форма а такая, что da = ш.

Доказательство.

Эта лемма является следствием следующего общего утверждения. Пусть Y — подмногообразие в X, причем существует отображение /: X —> Y С X, гомотопное тождественному отображению id: X —у X. Тогда замкнутая дифференциальная форма х точна на X тогда и только тогда, когда точна форма к\у. В
32

Глава 1

нашем случае, когда X — это окрестность тора Лиувилля, a Y — это сам тор Лиувилля, выполнено даже более сильное условие: ш\г = 0, поскольку тор Т? лагранжев.Поэтому ш точна. ¦

То же самое, впрочем, можно доказать явным вычислением. Поскольку формы u>i и (3 являются замкнутыми формами на диске, то они точны и поэтому существуют функции s* и 1-форма х на диске Dn такие, что dsi = w* и d% = [3. Положим а = Yh si di/ji + ус. Тогда da = ^ dsi A difii + dye = u>i A difii + j3 = ш.

Рассмотрим функции ai = ei(/i, , /„), ... , sn = sn(fi, и по-

кажем, что они независимы. Действительно, из формулы ш = ^ dsi A dipi + {3 следует, что матрица П симплектической формы ш имеет вид

О ; сЛ

V Cij • bij/

ds-

причем Cij = ду-. Поэтому det S7 = (det(7)2, и det С ф 0, где С — мат-ofj

рица Якоби замены ai = ... , /„), ... , sn = sn(fi, ... , /„). Таким об-

разом, мы можем теперь рассмотреть новую систему независимых координат

(в1, ••• 5 Sn, "01, . . . , фп).

Представим форму ус в виде ус = gi dsi и сделаем еще одну замену <pi = = ipi — gi(si, ... , sn). Геометрически это означает, что на торах Лиувилля мы меняем начальные точки отсчета угловых координат. Линии уровня и даже базисные векторные поля угловых координат при этом не меняются.

Покажем, наконец, что система построенных переменных действие-угол (si, ... , s„, <р 1, ... , <рп) является канонической. Имеем

^2 dSi A dipi = ^2 dsi л - gi(s 1, .. • , en)) =

= ^2 dsi л + ^2 dSiisu ¦¦¦ , sn) A dsi =

= ^2 dsi A dipi + d>c = ^2 dsi Л dipi + (3 = ш.

Переменные действие-угол построены.

Осталось доказать, что поток v выпрямляется на торе Лиувилля в координатах (в1, ... 5 sn, <^1, ••• 5 (fin)•

Действительно, sgrad Si = поэтому

u(pi

= sgradв,-(Я) = {e,-(/i, .. • , /„), H} = О,

т.е. Н — это функция только от si, ... , sn¦ Следовательно,

ОН , sr^dH д

, JJ ST' on , on о

sgrad Я = 8grad8*' = ?
Основные понятия

33

причем коэффициенты ——

08%

ч

зависят только от переменных действия s\, ... ,

т. е. постоянны на торах Лиувилля. Теорема Лиувилля доказана.

Комментарий. Отметим, что переменные действия si, , sn могут быть заданы явной формулой. Пусть и(Т%) = Dn хГ — окрестность лиувиллева тора. Фиксируя некоторый базис е±, ... , еп в решетке, отвечающей тору Т^, мы тем самым однозначно определяем набор базисных циклов 71, ... , 7„ в фундаментальной группе = Zn. По непрерывности эти циклы могут быть распро-
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed