Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
что
dj) *
^ = sgrad pi (pj) = {pi, pj} = 0,
т.е. р{ =Pi(yi, ... , У2п-к) при 1 ^ i ^ k.
Так как к < 2n — к, то количество функций у больше количества функций р, зависящих от у. Следовательно, существует новая функция pk+i(y), независимая с функциями pi (у), ... , Рк{у)- Далее имеем: {pk+i,pi} = - ^+1 = 0, т.е. функция Pk+i находится в инволюции со всеми р1? ... , р*.. Лемма доказана. ¦ Доказательство теоремы Дарбу завершено. ¦
Дадим также другое, более формальное доказательство теоремы Дарбу. Доказательство.
Рассмотрим симплектическую форму ш в некоторой фиксированной точке Р е М2п. Линейной заменой координат мы всегда можем привести в точке Р матрицу fi формы к каноническому виду
°°=(-в о)-
Такое приведение возможно, вообще говоря, только в одной точке Р. Рассмотрим теперь новую форму и>о с постоянной матрицей ГХ0 (в той же окрестности точки Р). Наша цель — найти такой диффеоморфизм окрестности U(P),
Основные понятия
25
чтобы он перевел форму ш в форму о;о- Ясно, что новые координаты, определяемые таким диффеоморфизмом, и будут каноническими координатами Дарбу. Найдем семейство диффеоморфизмов <pt таких, что
(filu) = Ult = (1 — t)u) + tu) о-
При t = 1 мы получим искомый диффеоморфизм <pi, переводящий форму ш в форму u)q. Чтобы найти семейство <pt, продифференцируем равенство по t и рассмотрим получившееся дифференциальное уравнение
= — ^5
где L^t — производная Ли вдоль векторного поля ® СИЛУ замкнутости
формы ujf левую часть равенства можно переписать в виде
Litujt = d{it\ut),
где itWt обозначает результат подстановки поля it в форму ut, т.е. дифференциальную 1-форму, определяемую тождеством it\uJt(v) = ш ti.it, v)? гДе v — ПР0_ извольный касательный вектор. С другой стороны, и)о — и) является замкнутой формой, поэтому локально (в некоторой окрестности точки Р) она точна и может быть представлена в виде и)о — и> = da. При этом без ограничения общности можно считать, что 1-форма а равна нулю в точке Р. Теперь найдем векторное поле ^ из соотношения it\u)t = а. В силу невырожденности формы это всегда можно сделать и притом однозначно. В итоге мы получим семейство гладких векторных полей it, t Е [0, 1]. При этом it(P) = 0 для любого t. Рассмотрим теперь семейство диффеоморфизмов <pt, удовлетворяющих дифференциальному уравнению it = с начальным условием <ро = id. Тогда по построению = и>о, что и требовалось. Теорема Дарбу доказана. ¦
1.4. Вложения и погружения симплектических
многообразий. Симплектические и лагранжевы подмногообразия
Определение 1.9. Пусть (М, ш) и (М', ш') — два симплектических многообразия. Отображение /: М —> М' называется симплектическим, если /*ш' = ш. Другими словами, дифференциал отображения / в каждой точке должен быть симплектическим отображением касательных пространств, т.е. шЦ, rf) = = u'(df(i), df{r])) для любых касательных векторов i, г] к М. Симплектический диффеоморфизм называется симплектоморфизмом.
Напомним, что гладкое отображение / гладких многообразий называется погружением, если его дифференциал df невырожден (т.е. имеет нулевое ядро).
Лемма 1.3. Любое симплектическое отображение /: М —у М' симплектических многообразий М и М' является погружением.
26
Глава 1
Доказательство.
Допустим противное. Если для некоторого ненулевого касательного вектора а имеем df(a) = 0, то
w(o, Ъ) = /V(a, Ъ) = w'(df(a), df(b)) = О
для любого касательного вектора b, что противоречит невырожденности формы ш. Лемма доказана. ¦
В каком случае между двумя многообразиями (М, ш) и (М', о/) существует симплектическое отображение? Когда, например, симплектическое многообразие допускает симплектическое вложение или погружение в (М2те, dp A dq)7
Рассмотрим сначала эту проблему локально и в том случае, когда размерности многообразий М и М’ равны. Здесь ответ дает теорема Дарбу, согласно которой для любой точки х из М и для любой точки у из М' всегда существует симплектоморфизм некоторой окрестности U(x) точки х на некоторую окрестность V(y) точки у. Другими словами, локально любые симплектические многообразия одинаковой размерности симплектоморфны.
С другой стороны, следующее утверждение показывает существование глобальных препятствий для симплектических вложений.
Предложение 1.9. Компактное замкнутое симплектическое многообразие М2п нельзя симплектически отобразить ни в какое стандартное симплектическое пространство R2N.
Доказательство.
Допустим противное. Пусть существует гладкое симплектическое отображение /: М —> М2ЛГ. Тогда ш = f*Vt. Форма VI на R2N является точной, т.е. имеет вид Q, = dr для 1-формы г = Y^Pi dqi- Следовательно, форма ш на М также точна, так как а) = f* dr = d(f*r). Полученное противоречие с предложением 1.6 доказывает предложение 1.9. ¦
