Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Для подсчета размерности группы найдем ее касательное пространство в единице. Другими словами, опишем соответствующую алгебру Ли sp(2n, М). Пусть А — произвольный элемент из касательного пространства TeSp(2n, М) = = sp(2n, R). Тогда существует гладкая кривая g(t), лежащая в группе Sp(2n, М)
такая, что g(0) = Е, ^(0) = Дифференцируя соотношение gT(t)Jg(t) = J при t = 0, получаем ~4г(0)J + — 0? или АТ J + JA — 0-
\ЛЬ \ЛЬ
Обратно, пусть матрица А удовлетворяет соотношению Ат J + JA = 0. Рассмотрим гладкую кривую g(t) = exp(L4) и покажем, что она целиком лежит в группе Sp(2n, М). Действительно, продифференцируем выражение gTJg(t) по t,
учитывая, что ехР(tA) = Лехр(^Л). Получим
= (J: exp(f,4)) J exp(tA) + (exp(L4))T exp(f,4) =
= (exp(L4))T (AT J + JA) ехр(^Л) = 0.
Таким образом, gTJg(t) — некоторая постоянная матрица. Но при t = 0 мы имеем g(0) = Е, поэтому на самом деле gTJg(t) = J при любом t. Следовательно, кривая g(t) целиком лежит в группе Sp(2n, М), а ее касательный вектор —— (0) = А — в алгебре Ли sp(2n, М).
Отметим, что соотношение Ат J + JA = 0 в точности означает симметричность матрицы JA, и отображение А —> JA задает линейный изоморфизм симплектической алгебры Ли sp(2n, М) на пространство симметрических матриц.
14
Глава 1
Следовательно, размерность группы Sp(2n, Ж) равна размерности пространства симметрических (2п х 2п)-матриц, т. е. dimSp(2n, М) = п(2п + 1). Первые два утверждения предложения 1.3 доказаны.
3) Отождествим симплектическое пространство Ж.2п с n-мерным комплексным пространством Сп. Рассмотрим в Сп эрмитово скалярное произведение (a, b) = ai&i + ... + апЪп и будем считать, что симплектическая структура в Ж.2п = Сп совпадает с мнимой частью эрмитова скалярного произведения:
а;(а, b) = Im(a, b).
С другой стороны, в этом же пространстве определена вещественная евклидова структура (a, b) = Re(a, b). Оператор комплексной структуры I (т. е. оператор умножения на мнимую единицу) однозначно определяется соотношением (la, b) = а)(а, b). В базисе е\, ... , еп, ге\, ... , геп матрицы симплектической и комплексной структур совпадают.
Напомним, что преобразования, сохраняющие эрмитову структуру называются унитарными. Ясно, что группа унитарных преобразований U(n) является подгруппой симплектической группы Sp(2n, Ж) (после отождествления Ж.2п с Сп). Более того,
U(n) = Sp(2n, М) П 0(2п, М),
где 0(2п, М) — группа преобразований, сохраняющих евклидову структуру (•, •).
Пусть L С sp(2n, М) — подпространство, состоящее из симметрических матриц. Покажем, что любая симплектическая матрица g 6 Sp(2n, М) может быть однозначно представлена в виде g=U exp S, где U — унитарная матрица, S 6 L. И обратно, любая матрица вида U exp S, где U 6 U(n), S 6 L, является симплектической.
Рассмотрим для этого матрицу gTg. Она симметрична и положительно определена. Поэтому существует единственная положительно определенная симметричная матрица R такая, что R2 = gTg. Для положительно определенной симметричной матрицы R в свою очередь существует единственная симметричная матрица S такая, что R = exp S. Положим U = gR~x и покажем, что разложение g = UR = U exp S является искомым.
Во-первых, покажем, что U и R являются симплектическими матрицами. Поскольку g, gT — симплектические матрицы, и R2 = gTg , то R2 = ехр(2?>) — симплектическая матрица. Отсюда легко вывести, что все матрицы вида exp(tS) являются симплектическими.
Поскольку U = gR~x = gexp(—S), то матрица U также симплектична. Кроме того, эта матрица ортогональна. Действительно, UTU = (RT)~1grgR~1 = = R~1R2R~1 = Е. Это означает, что соответствующее линейное преобразование сохраняет одновременно симплектическую структуру Im(-, •) и вещественную евклидову структуру Re(-,-). Другими словами, U 6 Sp(2n, Ш)Г\0(п, М) = U(n).
Наконец, симметрическая матрица S содержится в алгебре Ли sp(2n, М), поскольку она является касательным вектором кривой exp (tS) С Sp(2n, М).
Разложение g=U exp S определяет диффеоморфизм группы Sp(2n, М) и декартова произведения U(n) xL, где L — подпространство в алгебре Ли sp(2n, М),
Основные понятия
15
состоящее из симметрических матриц. Непосредственный подсчет показывает, что dimL = п(п + 1).
4) и 5). Связность симплектической группы следует теперь из связности сомножителей U(n) и L. Кроме того, m(Sp(2n, М)) = 7Ti(C/(n)) = Ъ. Предложение доказано. ¦
1.2. Симплектические и пуассоновы многообразия
Определение 1.5. Симплектической структурой на гладком многообразии М называется дифференциальная 2-форма ш, удовлетворяющая двум условиям:
1) ш замкнута, т. е. du> = О,
2) ш невырождена в каждой точке многообразия, т. е. в локальных координатах detl)(x) 0, где = (и^-(ж)) — матрица формы.
Многообразие, снабженное симплектической структурой, называется симплектическим.
