Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
На любом ли многообразии можно ввести симплектическую структуру? Ответ отрицательный. Многообразие обязано удовлетворять по крайней мере некоторым естественным ограничениям. Перечислим их.
Предложение 1.4. Симплектическое многообразие четномерно. Доказательство.
Это сразу следует из того, что форма ш задает на каждом касательном пространстве структуру симплектического пространства. В силу невырожденности оно должно быть четномерным. ¦
Предложение 1.5. Симплектическое многообразие ориентируемо. Доказательство.
Многообразие ориентируемо, если в касательном пространстве к любой точке многообразия можно некоторым естественным образом задать ориентацию, непрерывно зависящую от точки. На симплектическом многообразии это сделать можно. Рассмотрим для этого дифференциальную форму т = ш Аш А • • • До;.
41 'V1 ^
п раз
Ни в одной точке многообразия она не обращается в нуль. Рассмотрим произвольный базис е±, e-i, ... , е-щ в произвольном касательном пространстве к сим-плектическому многообразию и по определению будем считать его ориентацию положительной, если т(еi, е2, ... , ечп) > 0, и отрицательной в противном случае. Другими словами, многообразие ориентируемо, если на нем существует дифференциальная форма максимального ранга, нигде не обращающаяся в нуль. Здесь она существует, это т = При желании эту форму можно рассматривать как форму (ориентированного) объема на многообразии. Предложение доказано. ¦
Предложение 1.6. Если симплектическое многообразие компактно, то форма ш реализует ненулевой класс двумерных когомологий де Рама. В частности, Я2(М, Ж) ф 0.
16
Глава 1
Доказательство.
Предположим противное. Пусть симплектическая структура со точна и со = da. Рассмотрим тогда (2п — 1)-форму
к = а Ли Л . у Ли.
п — 1 раз
Легко видеть, что dx = со А со А ... А со — форма объема. Но тогда, учитывая формулу Стокса, приходим к противоречию:
vol(М) = I со Л со Л ... Л со = I х = 0.
J М J дМ=0
¦
Извлечем отсюда простейшие следствия. Все нечетномерные многообразия, лист Мебиуса, проективная плоскость, сфера Sn, где п > 2, симплектическими многообразиями не являются.
Простейшим примером симплектических многообразий являются двумерные ориентируемые поверхности (в компактном случае — сферы с ручками). В качестве симплектической структуры можно рассмотреть форму площади.
Другой пример — линейное симплектическое пространство М2п . Симплектическая структура — стандартная, не зависящая от точки
со = dpi A dqi + ... + dpn A dqn.
Кроме этих простейших примеров приведем еще три класса симплектических многообразий: кокасательные расслоения, кэлеровы многообразия, орбиты ко-присоединенного представления.
1. Кокасательные расслоения. Пусть М — гладкое многообразие, Т*М — его кокасательное расслоение. Построим сначала на Т*М некоторую 1-форму а, называемую формой действия. Напомним, что 1-форма на многообразии — это функция, которая каждому касательному вектору ставит в соответствие число. Пусть ? — касательный вектор к кокасательному расслоению в точке (ж, р). Положим по определению
а(0 =рЬг*(0)>
где 7г*: Т(Т*М) —> ТМ — естественная проекция, порожденная проекцией 7г: Т*М —> М. Легко видеть, что в локальных координатах форма а имеет вид
а = Pidq1 + ... +рп dqn,
где 5i,... ,qn — локальные координаты на многообразии М, a pi,... ,рп — соответствующие им координаты в кокасательном пространстве. В качестве симплектической структуры на Т*М мы берем форму со = da. Очевидно, что она удовлетворяет всем необходимым условиям.
Основные понятия
17
2. Комплексное пространство Сп и его комплексные подмногообразия, кэлеровы многообразия. Введем в Сп стандартное эрмитово скалярное произведение (z, w) = YlziWi- Легко видеть, что его мнимая часть является симплектической структурой на Сп. Рассмотрим произвольное комплексное подмногообразие в Сп, например, заданное набором полиномиальных уравнений. Ограничивая на это подмногообразие мнимую часть эрмитовой структуры, мы получаем на нем некоторую замкнутую дифференциальную 2-форму. Она автоматически оказывается невырожденной, поскольку ограничение эрмитовой структуры на комплексное подмногообразие снова, очевидно, является эрмитовой структурой, а мнимая часть эрмитовой структуры всегда невырождена.
Напомним, что кэлеровой структурой на комплексном многообразии называется эрмитова структура с замкнутой мнимой частью.
Легко видеть, что кэлерово многообразие и любое его комплексное подмногообразие являются симплектическими. В качестве симплектической формы ш при этом берется мнимая часть эрмитовой структуры.
