Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Примерами кэлеровых многообразий являются комплексное проективное пространство СРп и любое его комплексное проективное подмногообразие.
В качестве примера определим симплектическую структуру на СРп.
Пусть (zq: ... : zn) — однородные координаты в СРп. Рассмотрим одну из карт Uq и определим обычным образом комплексные координаты:
w1 = |^, ... , wn = |^, (z0^0).
Определим в этой карте дифференциальную 2-форму по следующей явной формуле:
_ _i_ I Ел _ (Y,wkdvik) Л (Y,i»kdMk)\
^ 1 + EKI2 (1 + EKI2)2 )'
Легко проверить, что в другой карте Uj эта форма запишется аналогичным образом. Тем самым мы получаем глобально определенную невырожденную и замкнутую форму на всем проективном пространстве.
3. Орбиты коприсоединенного представления. Рассмотрим алгебру Ли G произвольной группы Ли 0. Рассмотрим двойственное пространство G* и определим на нем коприсоединенное действие группы Ли. Для простоты мы будем считать, что G — матричная алгебра Ли, и присоединенное представление поэтому имеет вид сопряжения. Пусть ж, у, а Е G, А Е 0, ? Е G*. Напомним, что AcU и ada — линейные операторы на алгебре Ли, задаваемые обычными формулами
Adyi х — А~гхА, ada х — [а, х] = ах — ха.
Операторы Ad* и ad*, действующие на коалгебре, двойственны к операторам Ad^1 и — ada и определяются следующими тождествами
Ad^?(2/)=?(Ad^12/),
ada Ш) = ?(- ada у) = ?([г/, а]).
18
Глава 1
Рассмотрим теперь произвольный элемент ? Е G* и его орбиту относительно коприсоединенного действия группы Ли 0
0(?) = [т] = | А пробегает группу 0}.
Это гладкое многообразие. Определим на нем симплектическую структуру ш. Напомним, что дифференциальная 2-форма будет задана, если мы определим кососимметрическую билинейную форму в каждом касательном пространстве. Рассмотрим касательное пространство к орбите в точке ? (эта точка ничем не отличается от остальных). Можно проверить, что это касательное пространство имеет вид:
TtO(?) = {г} = ad* ? | а пробегает алгебру Ли G}.
Возьмем теперь два произвольных касательных вектора вида
Ш = adai ? и % = ad*2 i и положим по определению
w(rfr, m) = f([ai, а2]).
Нужно, разумеется, прежде всего проверить корректность определения. Дело в том, что один и тот же касательный вектор ij может быть различными способами представлен в виде ad*?. Пусть, например,
Ш =ad*1? = ad*i+b?.
Тогда имеем ad? ? = ad*l+b? — ad^ ? = 0 и, следовательно,
?([ai + Ь, аг]) = ?([Ь, аг]) + Шаъ <*2]) =
= -adjf(a2) + f([ai, о2]) = f([ai, о2]),
что и означает корректность определения. Остается проверить невырожденность и замкнутость этой 2-формы. Невырожденность проверяется довольно просто. Предположим, что существует касательный вектор щ такой, что ш(г) 1, щ) = О для любого касательного вектора 772- Это эквивалентно тому, что для любого элемента а2 Е G мы имеем
V2) = a2]) = -ad^ f(a2) = -щ(а2) = 0.
Поскольку здесь а2 произволен, то щ = 0, что и означает невырожденность. Замкнутость 2-формы ш следует из тождества Якоби в алгебре Ли G.
Изучим теперь локальные свойства симплектических многообразий.
Пусть Н — гладкая функция на симплектическом многообразии (М, ш). Определим для этой функции вектор кососимметрического градиента sgradi/ из тождества
uj(v, sgradi/) = v(H),
Основные понятия
19
где v — произвольный касательный вектор, v(H) — производная функции Н вдоль V.
В локальных координатах ж1, , х2п получим следующее выражение:
(sgrad#)* =
Здесь шг:> — коэффициенты матрицы, обратной к матрице Q. Мы пользуемся обычным соглашением, подразумевая суммирование по повторяющимся верхним и нижним индексам.
Определение 1.6. Векторные поля вида sgrad# называются гамильтоновыми векторными полями. Функция Н называется гамильтонианом векторного поля sgrad#.
Одним из важнейших свойств гамильтоновых векторных полей является то, что они сохраняют симплектическую структуру ш.
Предложение 1.7. Пусть gt — однопараметрическая группа диффеоморфизмов (гамильтонов поток), отвечающая гамильтонову полю v = sgrad/. Тогда диффеоморфизмы gt сохраняет симплектическую форму ш, т. е. $(ш) = ш. Доказательство.
Достаточно показать, что производная Ли от формы ш вдоль векторного поля v обращается в нуль. В силу замкнутости формы и имеем
Lv( ш) = d(v Jw),
где v\u) означает 1-форму, полученную подстановкой поля v в форму ш, т.е. VJW(0 = w(v? 0 = w(sgга(1/, 0 = ~df(0 для любого касательного вектора ?. Таким образом,
Lv( ш) = d(df) = О,
что и требовалось доказать. ¦
