Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Болсинов А.В. -> "Интегрируемые гамильтоновы системы " -> 16

Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.

Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы — И.: Удмуртский университет, 1999. — 444 c.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemi1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 193 >> Следующая


странены на все лиувиллевы торы из рассматриваемой окрестности.

Сопоставим каждому тору Лиувилля набор вещественных чисел si, ... , sn по следующей формуле

где а — дифференциальная 1-форма в окрестности U(T^) такая, что da = ш (обычно а называют формой действия). В результате в U(T^) возникает набор гладких функций

которые совпадают (с точностью до константы) с переменными действия, построенными при доказательстве теоремы Лиувилля. Чтобы в этом убедиться достаточно рассмотреть в качестве а форму ^ Si d(fi (см. доказательство теоремы).

Сделаем несколько общих замечаний о переменных действия, которые на самом деле естественно возникают в более общей ситуации, когда мы рассматриваем произвольное гладкое семейство лагранжевых подмногообразий.

Итак, пусть {Lf} — гладкое семейство компактных лагранжевых подмногообразий в симплектическом многообразии М2п, / — параметр этого семейства, принимающий значения в некоторой односвязной области С С Шк (или, для простоты, в диске С = Dk). В случае интегрируемой гамильтоновой системы речь идет о лиувиллевых торах, параметризованных значениями первых интегралов Д, ... , /„.

Пусть [7] — элемент фундаментальной группы iti(Lf). Поскольку параметр этого семейства пробегает односвязную область, то мы можем считать, что этот элемент естественным образом фиксирован в фундаментальной группе каждого лагранжева подмногообразия Lf,fEC.

Предположим сначала, что форма cj точна и выберем а такую, что da = из. Тогда каждому лагранжеву подмногообразию Lf можно сопоставить число s(f) (так называемое действие, отвечающее фиксированному элементу [7] € iti(Lf)) по формуле

si — si(/i?• • • ? fn)?

1
34

Глава 1

где интегрирование ведется по некоторому гладкому циклу 7f, лежащему на Lf и реализующему [7]. В результате на пространстве параметров (т.е. на рассматриваемом множестве лагранжевых подмногообразий) возникает функция s: С —У М, называемая действием (отвечающим [7]).

Если симплектическая структура точной не является, то аналогичная конструкция может быть получена так. Рассмотрим семейство подмногообразий {Lf} как семейство вложений, т.е. как отображение F: L х С -у М2п, где F\Lx{f}’- L х {/} —у М2п — вложение, образом которого является Lf. Тогда, несмотря на то, что форма ш не точна на М2п, форма F*uj является точной на L х С и мы можем перенести конструкцию на L х С, снова положив

Sry^ = Йг / а’

J 7/

где а — 1-форма на L х С такая, что da = F*ш, а 7f — цикл на!х {/}.

Отметим некоторые общие свойства действия s7(/).

Во-первых, значение действия на лагранжевом подмногообразии не зависит от выбора цикла 7f в его гомотопическом классе. Это сразу следует из того, что форма а, ограниченная на лагранжево подмногообразие является замкнутой, поскольку d{a\bf) = u\bf =0. Во-вторых, действие s7(/) определено с точностью до аддитивной постоянной. Это связано с неоднозначностью выбора формы а. Действительно, пусть da = da' = ш. Это означает, что а’ = а + (3, где (3 — некоторая замкнутая форма. Тогда

= hjlta’ = hjlta + hj^e = s^f) + hj^-

Пусть Lfr и Lf.2 — два различных лагранжевых подмногообразия из рассматриваемого семейства. Тогда

(3 = Ф (3 = const,

' 7/! ^7/2

поскольку циклы 7д и 7^2 гомологичны в М2п. Таким образом, действия s7 и siy отличаются на константу, которая зависит от формы (3, но не зависит от лагранжева подмногообразия из рассматриваемого семейства.

Отметим, наконец, одно важное свойство действия в случае лиувиллева слоения интегрируемой гамильтоновой системы.

Предложение 1.10. Пусть U(T^) = Dn х Тп — окрестность лиувиллева тора интегрируемой гамильтоновой системы. Фиксируем некоторый нетривиальный цикл 7 на каждом из лиувиллевых торов, непрерывно зависящий от тора, и рассмотрим отвечающую ему функцию действия

S'yifli • • • ? fn) — 2^ ^

где интегрирование ведется по циклу у, лежащему на торе, отвечающем данным значениям Д, ... , fn первых интегралов. Тогда все траектории гамильтонова векторного поля sgrad s7 замкнуты с одинаковым периодом 2-к и гомологичны циклу 7.
Основные понятия

35

Доказательство.

Без ограничения общности можно считать, что цикл 7 совпадает с циклом 71, отвечающим первой угловой координате в системе переменных действие-угол (si, ... , sn, 1, ... , <рп). В частности, s7 = s\. Тогда, как нетрудно проверить,

1.6. Нерезонансные и резонансные системы

Рассмотрим тор Лиувилля Т интегрируемой системы v = sgrad Н. Согласно теореме Лиувилля в переменных действие-угол векторное поле v на этом торе имеет вид ф\ = с\, ... , фп = сп, где Cj — некоторые постоянные. Они называются частотами. При изменении тора Т эти частоты, вообще говоря, изменятся.

Определение 1.13. Тор Лиувилля Т называется резонансным, если существует нетривиальная целочисленная линейная комбинация частот равная нулю, т.е.
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed