Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Из приведенного доказательства сразу вытекает и обратное утверждение. Если векторное поле v сохраняет симплектическую структуру ш, то форма v\u) замкнута и, следовательно, по крайней мере локально существует функция / такая, что v\w = df или, что то же самое, v = sgrad/. Векторные поля, обладающие этим свойством, называются локально гамильтоновыми.
Определение 1.7. На пространстве всех гладких функций на симплектичес-ком многообразии М можно ввести операцию скобки Пуассона по следующему правилу. Пусть f,g — две гладкие функции. Положим по определению
{f,g} = и (sgrad/, sgrad g) = sgrad/(g).
Легко видеть, что в локальных координатах скобка Пуассона приобретает следующий вид
и>е]=шчИ,М.
XJ ’ёi дхг дх>
Предложение 1.8 (Свойства скобки Пуассона). Скобка Пуассона удовлетворяет следующим свойствам:
20
Глава 1
1) билинейность над полем вещественных чисел;
2) кососимметричность
{/, g} = ~{g, /};
3) тождество Якоби
{g> {/> л}} + {/> ihi g}} + ihi {g> /}} = 0;
4) правило Лейбница
{fgj h} = f{g, h} + g{f, Л};
Оператор sgrad осуществляет гомоморфизм алгебры Ли гладких функций на многообразии в алгебру Ли векторных полей. Другими словами, имеет место тождество
sgrad{/, g} = [sgrad/, sgradg].
В частности, гамильтоновы векторные поля образуют подалгебру.
6) Функция / является первым интегралом гамильтонова векторного поля v = sgradН тогда и только тогда, когда {/, Н} = 0. В частности, гамильтониан Н всегда является интегралом поля sgrad Н.
Доказательство.
Билинейность и кососимметричность скобки Пуассона очевидны. Докажем тождество Якоби. Напомним следующую хорошо известную формулу Картана:
V, С) = &{i), С) - <*>([?, V], О + (цикл, перестановка),
где ш — произвольная 2-форма, ?, г] и ( — произвольные векторные поля. Применим ее в случае, когда ш — симплектическая структура, а ? = sgrad/, г] = sgradg и ( = sgrad h. В силу замкнутости симплектической структуры имеем:
sgrad/ (ш (sgrad g, sgrad Л-)) — a;([sgrad /, sgrad g], sgrad h) +
+ (цикл, перестановка) = 0.
Перепишем это выражение иначе:
sgrad f({g, Л-}) — [sgrad/, sgradg](h) + (цикл, перестановка) = 0. Переписывая еще раз, получаем тождество Якоби:
{/> {g^ h}} - sgrad/(sgradg(h)) + sgradg(sgrad/(/i)) +
+ (цикл, перестановка) = {g, {/, Л,}} + (цикл, перестановка) = 0.
Основные понятия
21
Из приведенного доказательства вытекает следующее полезное наблюдение. Тождество Якоби для скобки Пуассона на самом деле эквивалентно замкнутости формы ш.
Правило Лейбница легко вытекает из аналогичного правила для косого градиента:
sgrad(/#) = / sgrad g + #sgrad/.
Докажем свойство 5. Дифференцируя произвольную функцию h вдоль векторного поля sgrad{/, g}, имеем
sgrad{/, g}(h) = {{/, g}, h} = (в силу тождества Якоби) =
= {/, {g, h}} - {g, {/, h}} =
= sgrad/ (sgrad g{h)) — sgrad g(sgrad f (h)) =
= [sgrad/, sgradg](h),
что и требовалось доказать.
Свойство 6, очевидно, следует из определения скобки Пуассона. ¦
Иногда вместо симплектической структуры на многообразии при построении гамильтоновой механики в качестве исходной структуры берут скобку Пуассона. При этом скобка Пуассона не предполагается обязательно невырожденной.
Определение 1.8. Гладкое многообразие называется пуассоновым, если на нем задана скобка Пуассона, т.е. операция {*,*}: С°°(М) х С°°(М) —> С°°(М), задающая структуру алгебры Ли на пространстве гладких функций и удовлетворяющая правилу Лейбница.
Легко проверяется, что задание скобки Пуассона на многообразии эквивалентно заданию кососимметрического тензорного поля Аг^(х), удовлетворяющего соотношению
.i«dA* .,-„9# AkadAV
дха дха дха
При этом связь между скобкой Пуассона и тензорным полем Агз, называемым пуассоновой структурой, проста и естественна:
if e\=Aijdf_dg
U,g> дх1дх'^
а соотношение на компоненты тензора Агз в точности эквивалентно тождеству Якоби.
Если скобка Пуассона невырождена (т.е. det(^*J) ф 0 всюду на М), то пу-ассоново многообразие является симплектическим. Симплектическая структура имеет в этом случае вид ш = Aijdx1 A dx^, где Aij — компоненты матрицы, обратной к (Агз).
В качестве примера вырожденной скобки Пуассона укажем скобку Пуассона-Ли на двойственном пространстве G* к произвольной алгебре Ли G. Она задается формулой:
22
Глава 1
Здесь сг-к — структурные константы алгебры Ли G в некотором базисе ei, ... , е„, а ®1, ... , xs — координаты на G* в сопряженном базисе е1, ... , еп.
