Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
\z\ = a, \w\ = (3 (первый тор), \z\ = (3, \w\ = а (второй тор).
Здесь а и /5 удовлетворяют соотношениям: а2 + f32 = 1, а(3 = е, а > (3 > 0. Отметим, что эти два полнотория зацеплены внутри 3-сферы с коэффициентом зацепления, равным 1.
Таким образом, все элементарные 4-блоки Ui устроены одинаково. То есть, U(L) склеено из п «одинаковых кусков» Ui, каждый из которых является в то же время окрестностью «своей» особой точки типа фокус-фокус. При этом соседние 4-блоки Ui и ?/*+i склеиваются друг с другом по некоторому диффеоморфизму граничных полноторий.
Теорема 9.10. Число п особых точек типа фокус-фокус на особом слое L является единственным, а потому полным топологическим инвариантом особенности слоения Лиувилля типа фокус-фокус. Другими словами, две особенности типа фокус-фокус лиувиллево эквивалентны при помощи послойного гомеоморфизма тогда и только тогда, когда на их особых слоях имеется одинаковое число особых точек.
Доказательство.
Достаточно доказать, что 4-мерная окрестность U(L) особого слоя L определяется однозначно, с точностью до послойного гомеоморфизма, если заранее задано число п особых точек на слое L. Другими словами, достаточно проверить, что U(L) однозначно, с точностью до послойного гомеоморфизма, склеивается из п элементарных 4-блоков. Для этого изучим подробнее склейку двух соседних граничных полноторий. Каждое из них тривиальным образом расслоено на окружности, параллельные оси полнотория. Они являются пересечениями торов Лиувилля с границей 4-блока, т. е. со 3-сферой S3. Следовательно, в каждом блоке они задаются уравнениями / = const, Н = const и \z\2 + I'm]2 = 1.
Полнотория склеиваются так, что эти два расслоения на окружности послойно отождествляются. Каков произвол при такой склейке? Чтобы ответить на этот вопрос, удобно представить каждое из склеиваемых полноторий как прямое произведение D2 х S1. Напомним, что на каждом элементарном блоке Ui мы имеем
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
377
стандартные канонические координаты рi, р2, q\, q2 такие, что
я = Я(/ь /2),
/ = ЯЛ, /2),
где /1 = + /ьг/2, /2 = Р2Ч1 ~PiQ2- Напомним, что замена
(я, /) -»• (л, /2)
является регулярной, и поэтому функции Д, Д локально можно представить как гладкие функции от Н и /. Легко видеть, что здесь без ограничения общности якобиан замены (Н, /) —»¦ (Д, Д) можно считать положительным.
На граничном полнотории D2 х S1 для г-го 4-блока Ui функции Д, Д можно рассматривать как локальные координаты на диске D2. При отождествлении двух граничных полноторий, функции Н и / должны сохраняться. С другой стороны, на соседних 4-блоках Ui и [7»+х зависимость функций Н и / от функций Д и Д,вообще говоря, разная. Поэтому в терминах функций Д и Д отображение, склеивающее два соседних полнотория, становится, вообще говоря, нетривиальным диффеоморфизмом с положительным якобианом.
Следующее техническое утверждение показывает, что такой диффеоморфизм можно без ограничения общности считать попросту тождественным.
Лемма 9.9. Рассмотрим окрестность U(x) особой точки х G М4 типа фокус-фокус (стандартный 4-блок) и соответствующее отображение момента Т'. U(x) —> М2, Т{х) = (0, 0). Пусть ? — произвольный локальный диффеоморфизм в образе, т. е. М2 —> М2, оставляющий точку (0, 0) неподвижной и не меняющий ориентации плоскости. Тогда его всегда можно «накрыть» некоторым послойным гомеоморфизмом окрестности U(x) на себя, то есть таким гомеоморфизмом что . Более того, можно считать, что гомеоморфизм ?
послойно изотопен тождественному.
Замечание. Эта лемма на самом деле означает, что окрестность U(x) точки типа фокус-фокус имеет весьма большую группу послойных гомеоморфизмов U(x) на себя. Другими словами, с помощью этих гомеоморфизмов в U(x) можно произвольным образом «перемешивать» слои слоения Лиувилля.
Доказательство.
Нам удобно будет доказывать наше утверждение в комплексной форме, т. е. отождествить окрестность точки фокус-фокус с двумерным комплексным пространством С2(z, w), а образ отображения момента Т с С. При этом в силу локальной теоремы 1.5 из главы 1 мы считаем, что T{z, w) = zw.
Рассмотрим сначала вещественный аналог доказываемого утверждения. Пусть М —> М — произвольный диффеоморфизм, сохраняющий точку 0 и не меняющий ориентации. Построим гомеоморфизм (на самом деле легко строится диффеоморфизм) М2 —> М2 такой, что F? = ?F, где F: М.2 —> М — отображение вида F(x, у) = ху. Другими словами, мы строим послойный гомеоморфизм для слоения, задаваемого линиями уровня функции F. Этот гомеоморфизм должен перемешивать слои в соответствии с диффеоморфизмом (заданным на базе).
378
Глава 9
Рассмотрим векторное поле gradF = (у, х) и определим отображе-
ние <р(х, у, а), которое сдвигает точку (х, у) вдоль интегральной траектории этого векторного поля до точки (ж', у') такой, что F(x', у') = х'у' = а. Здесь мы предполагаем, что знак а совпадает со знаком F(x, у) = ху.
