Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Легко видеть, что каждая из подгрупп Yi и Y2 является нормальным делителем в группе Y. Кроме того, обе эти подгруппы имеют конечный индекс в Aut х{е} и {е} х Aut соответственно. Этим мы скоро воспользуемся.
Рассмотрим далее Yi х Y2 как подгруппу в группе Y. Поскольку Yi х Y2 лежит в группе автоморфизмов накрытия ВхВ, то можно на первом шаге профакто-ризовать накрытие ВхВ по этой подгруппе. Мы утверждаем, что в результате получится компактное 4-многообразие.
В самом деле, вся группа Y действует свободно на накрытии ВхВ, поскольку является фундаментальной группой базы. Подгруппа Yi х Y2, следовательно, также действует свободно на накрытии, поэтому фактор-пространство является многообразием.
Далее, поскольку каждый из сомножителей Yi и Y2 имеет конечный индекс в «своей» группе Aut, то подгруппа Yi х Y2 имеет конечный индекс в группе Aut х Aut, и следовательно в группе Y. Отсюда следует, что фактор пространство (В х B)/(Yi х Y2) компактно.
Кроме того, оно, очевидно, является прямым произведением 2-многообразий
B/Y1 и B/Y2,
то есть произведением двух некоторых компактных 2-атомов V\ и V2.
Осталось вспомнить, что каждая группа Yi и Y2 является нормальным делителем
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
369
в группе Y. Следовательно, их произведение Y\ х Y2 также является нормальным делителем в Y. Поэтому определена фактор-группа G = Y/(Yi х Y2). Итак, с одной стороны мы имеем
V1xV2 = (Bx B)/(Yi х Y2),
а с другой стороны,
U(L) = (В х В)/Y.
Следовательно, U(L) = (Vi х V2)/(?, где G является конечной группой, так как Yi х Y2 имеет конечный индекс в Y. Теорема 9.9 доказана. ¦
Для всех особенностей седло-седло сложностей 1 и 2, перечисленных выше в теоремах JI. М.Лермана, Я. Л. Уманского и А. В. Болсинова, можно предъявить также другое представление, следуя теореме Т. 3. Нгуена. То есть представить их в виде почти прямого произведения.
В качестве примера рассмотрим структуру невырожденной особенности в случае двух степеней свободы при условии, что особый слой содержит ровно одну критическую точку типа седло-седло. Согласно теореме о топологическом разложении, окрестность этого особого слоя может быть представлена в виде произведения двух седловых атомов с последующей факторизацией. Оказывается, в этом случае имеется ровно четыре возможности, перечисляемые ниже и соответствующие, разумеется, четырем случаям, перечисленным в теореме 9.5.
1) прямое произведение ВхВ двух атомов типа В;
2) (В х С2)/Z2, где группа Z2 действует на каждом из сомножителей как центральная симметрия;
3) (В х где группа Z2 действует на каждом из сомножителей как
центральная симметрия;
4) (С2 х С2)/Ъ2 х Z2, где две образующие а и (3 группы Z2 х Z2 действуют следующим образом. Рассмотрим рис. 9.46, на котором дано несколько иное представление для атома С2. Здесь а действует как симметрия относительно оси Ох на первом экземпляре атома С2, и как симметрия относительно оси Oz на втором. Вторая образующая /3, наоборот, действует как симметрия относительно Oz на первом сомножителе и как симметрия относительно оси Ох на втором.
Соответствующие круговые молекулы без меток изображены на рис. 9.35. Стандартные обозначения для атомов см. в таблице 1 главы 2.
Интересно, что первые три из четырех описанных особенностей встречаются в задачах классической механики (первая и третья — в интегрируемом случае Ковалевской, а вторая — в случае Горячева-Чаплыгина). Авторам неизвестно, реализуется ли в интегрируемых системах механики и физики четвертая возможность. Во всяком случае ее нет в известных на сегодняшний день интегрируемых случаях динамики твердого тела, интегрируемых геодезических потоках
370
Глава 9
на двумерных поверхностях и целой серии других систем, для которых топологические инварианты были вычислены. См. подробности в томе 2 настоящей книги.
Для 39 случаев особенностей типа седло-седло сложности два, перечисленных в теореме 9.7, их представление в виде почти прямых произведений было получено В. В. Корнеевым. Этот результат приведен в таблице 9.3.
Комментарии к таблице В. Корнеева 9.3.
Во втором столбце таблицы 9.3 указаны номера, которые присвоены перечисляемым здесь особенностям в таблице 9.1 и 9.2. Номера одних и тех же особенностей в разных таблицах оказались разными по той причине, что в таблицах 9.1 и 9.2 особенности упорядочены по их /-типу. В то же время, в таблице 9.3 особенности упорядочены по типам действующих групп.
В третьем столбце таблицы 9.3 указаны атомы, являющиеся сомножителями почти прямого произведения. Эти атомы изображены в последней части таблицы 9.1. Здесь же указаны группы симметрий атомов и их образующие. Более того, сами атомы изображены в таблице 9.1 в «симметричном виде», чтобы можно было наглядно увидеть их группы симметрий. Здесь через а во всех случаях мы обозначаем центральную симметрию, т. е. симметрию относительно «центра атома» в специально подобранном нами симметричном изображении атома. Через 7 мы обозначаем поворот атома на угол ^ вокруг того же «центра атома».
