Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Это отображение выбрано так, что оно является комплексным. Далее, легко проверяется, что оно является симплектическим, поскольку dw A dz = = d(zw2) A d(w_1). Кроме того, оно сохраняет функцию zw.
Легко видеть, что в результате получается некоторое 4-мерное комплексное симплектическое многообразие Ui, на котором корректно определена голоморфная функция F, которая в локальных координатах имеет вид zw. Эта функция имеет ровно одну особую точку (0, 0). Особый слой F = 0 получается в результате склейки двух трансверсально пересекающихся дисков по их границам, т. е. является сферой с одной точкой самопересечения, а само получившееся многообразие U\ представляет собой регулярную окрестность этого слоя вида {\F\ < е}, расслоенную на компактные неособые слои, диффеоморфные двумерным торам.
С вещественной точки зрения мы получили две коммутирующие функции /i = ReF, /2 = ImF, задающие на полученном многообразии U\ структуру лиувиллева слоения с единственным особым слоем типа фокус-фокус, содержащим одну особую точку.
Аналогичным образом можно построить модельный пример особенности, в котором будет п особых точек типа фокус-фокус. Нужно последовательно, «по цепочке» склеить п экземпляров многообразия U как было описано выше. Получится многообразие Un.
пу пЪ и построим, стандартным приемом, накрытие, отвечающее этой подгруппе. Полученное многообразие Un также имеет фундаментальную группу, изоморфную Z. Отметим, что универсальное накрытие над U\ совпадает с универсальным накрытием над Un. Другими словами, разные многообразия Um и Uk имеют одно и то же универсальное накрытие U^. Причем и структура возникающего на Uoo лиувиллева слоения тоже будет одна и та же для разных Um и Uk-См. рис. 9.53. Слои лиувиллева слоения здесь некомпактны и являются бесконечными 2-цилиндрами. На этом универсальном накрытии естественно действует группа Z, как группа сдвигов. Итак, любая особенность типа фокус-фокус получается из этой универсальной модели путем факторизации по подгруппе индекса п в группе Z. Подчеркнем, что это утверждение справедливо лишь в дифференциально-топологическом смысле. С симплектической точки зрения неверно, что любая особенность типа фокус-фокус получается факторизацией из одной универсальной модели, с фиксированной на ней одной и той же симплектической структурой. Дело в том, что имеются нетривиальные симплектичес-кие инварианты, отличающие друг от друга некоторые особенности типа фокус-фокус даже если у них одинаковое число особых точек на особом слое L. Поэтому хотя с дифференциально-топологической точки зрения есть ровно одно слоение
Рис. 9.53
Можно поступить и по-другому, а именно, рассмотрев n-кратное накрытие над многообразием U\. Здесь мы используем тот факт, что фундаментальная группа особого слоя в Ui, как и самого Ui, равна Z. Выберем в ней подгруп-
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
381
типа Uoo, на нем можно задать много неэквивалентных симплектических структур.
Рис. 9.54
9.8.4. Круговая молекула и группа монодромии особенности типа фокус-фокус
Круговая молекула является инвариантом лиувиллева слоения, возникающего на 3-многообразии Qle. Здесь у? — окружность радиуса е в плоскости М2 (Н, /), a Qle — полный прообраз окружности при отображении момента Т. См. рис. 9.54. Совершенно ясно, что топологически 3-многообразие Qle является расслоением над окружностью 7е со слоем тор Лиувилля. Это расслоение полностью определяется своей группой монодромии, т.е. автоморфизмов фундаментальной группы 2-тора на себя, возникающей при обходах по базе-окружности 7е. Поскольку 7Гх (Т2) = Z ® Z, то речь тут идет о циклических подгруппах группы автоморфизмов Z ® Z. Отметим, что 3-многообразие Qle можно представлять себе как результат отождествления по диффеоморфизму двух граничных торов прямого произведения Т2 х D1. На рис. 9.55 — это торы Tq и Ti, «основания цилиндра». Диффеоморфизм ф, склеивающий эти два тора, индуцирует автоморфизм ф* группу Z + Z как фундаментальной группы тора. Автоморфизм ф* однозначно задается целочисленной унимодулярной матрицей. Эта матрица, конечно, зависит от выбора базиса на торе, то есть от базиса в группе Z + Z. Но ее класс сопряженности является полным инвариантом слоения. Эта матрица называется также матрицей монодромии. Она естественно возникает, когда мы сравниваем на торе два базиса: исходный и получившийся из него после «обноса» вдоль окружности 7е. Мы возвращаемся на прежний тор, но с каким-то преобразованным базисом. Матрица перехода между этими двумя базисами и есть матрица монодромии. Таким образом, интересующая нас круговая молекула — это окружность, снабженная «меткой» — классом сопряженности матрицы монодромии.
Теорема 9.11. Круговая молекула является полным инвариантом лиувиллевой эквивалентности особенности слоения типа фокус-фокус. Если на особом слое лежат п точек типа фокус-фокус, то матрица монодромии имеет вид
Доказательство.
Мы дадим два доказательства. Первое — явно указав базис на торе Лиувилля и результат его «обноса» вдоль окружность 7е. Второе — путем анализа соотношений в фундаментальной группе многообразия Qle.
